うさぎでもわかる解析　Part21　条件付き2変数関数の極値・行列を用いたラグランジュの未定乗数法

こんにちは、ももやまです。

前回は、2変数関数 \( f(x,y) \) の極値（極大値・極小値）を求める方法をまとめましたね。

しかし、実際に2変数関数の最大値・最小値を調べるときには何かしらの制約（例えば \( x^2 + y^2 = 4 \) を満たすように）がかかった上で最大値・最小値を求めるような問題を解く必要がある場面も増えてきます。

このように、何かしらの条件の上での極値を調べ、最大値・最小値を求めていく方法について今回はまとめていこうと思います。

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１．条件付きの2変数関数

まずは、前回と同様に極値となりうる点を調べていきます。
条件付きの2変数関数の極値となりうる点（候補点）を調べるのに便利なのが下に示すラグランジュの未定乗数法です。

一番上の式 \( g(x,y) = 0 \) は当たり前（もとの条件と同じ）なのでいいでしょう。

ですが、\[
\left\{ \begin{array}{l} f_x = \lambda g_x \\ f_y = \lambda g_y\end{array}\right.
\]の式がある定数 \( \lambda \) が出てきて少しややこしいですよね。なので少し変形して \( \lambda \) を消しちゃいましょう。

上の2式を\[
\left\{ \begin{array}{l} f_x - \lambda g_x = 0 \\ f_y - \lambda g_y = 0 \end{array}\right.
\]と変形した上でさらに行列を用いて表してみましょう。すると、\[
\left( \begin{array}{ccc} f_x & g_x \\ f_y & g_y  \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc} 1 \\ - \lambda  \end{array} \right) = \left( \begin{array}{ccc} 0 \\ 0  \end{array} \right)
\]と変形できますね。

すると、連立方程式\[
A \vec{x} = \vec{0}
\]の形に変形ができますね。今回 \( \vec{x} \) の部分は\[
\vec{x} =  \left( \begin{array}{ccc} 1 \\ - \lambda  \end{array} \right)
\]と自明ではない解を持っています*1。

なので、行列 \( A \) は正則ではありません*2。なので、行列 \( A \) の行列式は必ず0になる必要があります。なので、\[
\left| \begin{array}{ccc} f_x & g_x \\ f_y & g_y  \end{array} \right| = 0
\]を解くことで極値の候補点を効率的に調べることができる。

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２．例題を用いた説明

では、1題例題を解きながらラグランジュの未定乗数法を用いて極値を求めていきましょう。

例題

条件 \( x^2 + y^2 = 1 \) のもとで関数\[
f(x,y) = x^2 + xy + y^2
\]の極値となりうる点を調べ、極値を求めなさい。

解答

Step1：極値の候補点を調べる

まずは条件式を \( = 0 \) の形にし、\( g(x,y) = 0 \) とする。すると\( g(x,y) = x^2 + y^2 - 1 \) となる。すると、\[
f_x = 2x + y, \ \ \ g_x = 2x \]\[
f_y = x + 2y, \ \ \ g_y = 2y
\]となる。

ラグランジュの未定乗数法により、\[\begin{align*}
\left| \begin{array}{ccc} f_x & g_x \\ f_y & g_y  \end{array} \right| & =
\left| \begin{array}{ccc} f_x & g_x \\ f_y & g_y  \end{array} \right| \\ & =
\left| \begin{array}{ccc} 2x+y & 2x \\ x+2y & 2y  \end{array} \right| \\ & =
(2x+y)2y - 2x(x+2y) \\ & =
4xy + 2y^2 - 2x^2 - 4xy \\ & =
2(y^2 - x^2) \\ & = 2(y+x)(y-x) = 0
\end{align*}\]が成り立つ。

ここで、\( y = x \), \( y = -x \) をそれぞれ \( g(x,y) = 0 \) に代入する。

(i) \( y = x \) のとき\[
x^2 + x^2 = 2x^2 =  1
\]より、\[
\left( x,y \right) = \left( \pm \frac{  \sqrt{2} }{2},\pm \frac{  \sqrt{2} }{2} \right)
\]が極値の候補点となる。ただし、符号は複号同順*3。

(ii) \( y = -x \) のとき\[
x^2 + (-x)^2 = 2x^2 =  1
\]より、\[
\left( x,y \right) = \left( \pm \frac{  \sqrt{2} }{2},\mp \frac{  \sqrt{2} }{2} \right)
\]が極値の候補点となる。ただし、符号は複号同順*4。

Step2：候補点のときの \( f(x,y) \) の値を求める

つぎに、Step1で求めた候補点における \( f(x,y) \) の値をすべて求めていきます。

(i) \(  \left( \pm \frac{  \sqrt{2} }{2},\pm \frac{  \sqrt{2} }{2} \right) \) のとき

\[\begin{align*}
f \left( \pm \frac{  \sqrt{2} }{2}, \pm \frac{  \sqrt{2} }{2} \right) & =
\frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \\ & = \frac{3}{2}
\end{align*} \]

(ii) \(  \left( \pm \frac{  \sqrt{2} }{2},\mp \frac{  \sqrt{2} }{2} \right) \) のとき

\[\begin{align*}
f \left( \pm \frac{  \sqrt{2} }{2} ,\mp \frac{  \sqrt{2} }{2} \right) & =
\frac{1}{2} - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \\ & = \frac{1}{2}
\end{align*} \]となる。

(i), (ii) より\[
(x,y) = \left(\pm \frac{  \sqrt{2} }{2},\pm \frac{  \sqrt{2} }{2} \right)
\]のとき、極値は 3/2 となり（最大値）、\[
(x,y) = \left( \pm \frac{   \sqrt{2} }{2},\mp \frac{   \sqrt{2} }{2} \right)
\]のとき、極値は 1/2 となる（最小値）。

（実際に極値が最大値・最小値になる理由は次の章で説明したいと思います。）

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３．極値が最大値・最小値になるかの確認

先ほど例題を解く際に、極値が本当に最大値（or最小値）であるかの判定はしていませんね。

極値が本当に最大値 or 最小値であるかを判定するために使うのが下のワイヤシュトラスの定理です。

少々難しいかもしれませんが、簡単にいうと、条件が有限の範囲であれば必ず一番大きいものと一番小さいものが存在するということです*5。

先ほどの例題の場合、条件 \( x^2 + y^2 = 1 \) は有限の範囲内の円ですね。

この曲線は有限の範囲に収まっていますね。なので明らかに有界閉集合です。なので必ず最大値と最小値が存在します。

よって、極値 3/2 は最大値となり、極値 1/2 は最小値になることがわかります。

有界閉集合なものの例でよく出てくるものとして円や楕円など（もちろん有限の範囲内）があります。もし条件が円が楕円で表されていれば、「あ、有界閉集合だから最大値と最小値がありそうだな」とでも思ってください。

４．極値を求める流れ

では、極値（最大・最小）を取る流れを確認していきましょう。

５．練習問題

では、2問だけですが練習してみましょう。

練習1

条件 \( 4x^2 + 9y^2 = 36 \) のもとで関数\[
f(x,y) = 3xy
\]の極値となりうる点を求め、最大値、最小値を求めなさい。

練習2

点 \( P(x,y) \) が条件 \( 3x^2 - 2xy + 3y^2 = 1 \) を満たしながら \( O \) を原点とする平面上を動く時、OPの最大値と最小値を求めなさい。

（必要であれば \( 3x^2 - 2xy + 3y^2 = 1 \) が有界閉集合であることを用いてもよい。）

６．練習問題の答え

解答1

Step1：極値の候補点を調べる

条件式を \( = 0 \) の形にし、\( g(x,y) = 0 \) とする。すると\( g(x,y) = 4x^2 + 9y^2 - 36 \) となる。

すると、\[
f_x = 3y \ \ \ g_x = 8x \]\[
f_y = 3x \ \ \ g_y = 18y
\]となる。

ラグランジュの未定乗数法により、\[\begin{align*}
\left| \begin{array}{ccc} f_x & g_x \\ f_y & g_y  \end{array} \right| & =
\left| \begin{array}{ccc} f_x & g_x \\ f_y & g_y  \end{array} \right| \\ & =
\left| \begin{array}{ccc} 3y & 8x \\ 3x & 18y  \end{array} \right| \\ & =
54y^2 - 24x^2 \\ & =
6(9y^2 - 4 x^2) = 0
\end{align*}\]が成り立つ。

つまり、\( 9 y^2 - 4x^2 = 0 \) が成立するので、\( 4x^2 = 9y^2 \) として \( g(x,y) = 0 \) に代入する。すると、\[
9y^2 + 9y^2 = 18y^2 = 36 \]

\[ y^2 = 2
\]となるので \( y = \pm \sqrt{2} \) が成立する。

また、\( y^2 = 2 \) のとき、\[
4x^2 + 9 \cdot 2 - 36 = 0
\]\[
4x^2 = 18 \]\[
x^2 = \frac{18}{4} \]\[ x = \pm \frac{\sqrt{18}}{2} = \pm \frac{ 3 \sqrt{2}}{2}
\]が成立する。よって極値の候補点は\[
\left( x,y \right) = \left(\pm \frac{3 \sqrt{2}}{2}, \pm \sqrt{2} \right)
\]の4点となる。（符号は複号任意）

Step2：候補点のときの \( f(x,y) \) の値を求める

つぎに、4点の候補点における極値 \( f(x,y) \) をそれぞれ求めていく。

4点バラバラに調べていってもいいが、複合同順を使うことで2つまとめて一気に判定できるので使っていきます。

(1) \[
\left( x,y \right) = \left(\pm \frac{3 \sqrt{2}}{2}, \pm \sqrt{2} \right)
\]のとき（符号は複号同順）\[\begin{align*}
f(x,y) & = \pm \frac{3 \sqrt{2}}{2} \cdot \left( \pm \sqrt{2} \right)
\\ & = \frac{3 \sqrt{4}}{2} \\ & = \frac{6}{2} = 3
\end{align*}\]となる*6。

(2) \[
\left( x,y \right) = \left(\pm \frac{3 \sqrt{2}}{2}, \mp \sqrt{2} \right)
\]のとき（符号は複号同順）\[\begin{align*}
f(x,y) & = \pm \frac{3 \sqrt{2}}{2} \cdot \left( \mp \sqrt{2} \right)
\\ & = - \frac{\sqrt{36}}{2} \\ & = - \frac{6}{2} = -3
\end{align*}\]となる*7。

Step3：極値が本当に最大値・最小値となるか判定

では、極値が本当に最大値と最小値になるかを検証してみましょう。

今回の条件は \(  4x^2 + 9y^2 = 36 \) と楕円ですね。楕円なので条件式は有界閉集合となります。また、\( f(x,y) \) が連続なのは明らかなので必ず最大値、最小値を持つことがわかります。

よってStep2で求めた極値はそれぞれ最大値、最小値となり、\[
\left( x,y \right) = \left(\pm \frac{3 \sqrt{2}}{2}, \pm \sqrt{2} \right)
\]のとき、最大値3を取り、\[
\left( x,y \right) = \left(\pm \frac{3 \sqrt{2}}{2}, \mp \sqrt{2} \right)
\]のとき、最小値-3を取る。

解答2

OPの長さは \( \sqrt{x^2+y^2} \) で求められることができる。

また、\( \sqrt{x^2+y^2} \) が最大、最小となるときは \( x^2 + y^2 \) も同様に最大、最小となる。なので条件 \[ g(x,y) = 3x^2 - 2xy + 3y^2 - 1 = 0 \] のもとで関数\[
f(x,y) = x^2+y^2
\]の最大・最小を求めればよい。

Step1：極値の候補点を調べる

\( f(x,y) \), \( g(x,y) \) のそれぞれの偏導関数を求める。

すると、\[
f_x = 2x \ \ \ g_x = 6x - 2y \]\[
f_y = 2y \ \ \ g_y = -2x+6y
\]となる。

さらにラグランジュの未定乗数法により、\[\begin{align*}
\left| \begin{array}{ccc} f_x & g_x \\ f_y & g_y  \end{array} \right| & =
\left| \begin{array}{ccc} f_x & g_x \\ f_y & g_y  \end{array} \right| \\ & =
\left| \begin{array}{ccc} 2x & 6x-2y \\ 2y & -2x+6y  \end{array} \right| \\ & =
2x(-2x+6y) - 2y(6x-2y) \\ & =
-4x^2 + 12xy - 12xy + 4y^2 \\ & =
4(y^2 - x^2) \\ & =
4(y+x)(y-x) = 0
\end{align*}\]が成り立つ。

ここで、\( y = x \), \( y = -x \) をそれぞれ \( g(x,y) \) に代入する。

(i) \( y = x \) のとき\[
3x^2 - 2x^2 + 3x^2 = 1 \]\[ 4x^2 = 1 \
\]より、\[
\left( x,y \right) = \left( \pm \frac{1}{2},\pm \frac{1}{2} \right)
\]が極値の候補点となる。ただし、符号は複号同順*8。

(ii) \( y = -x \) のとき\[
3x^2 + 2x^2 + 3x^2 = 1 \\ 8x^2 = 1 \\ x^2 = \frac{2}{16}
\]より、\[
\left( x,y \right) = \left( \pm \frac{  \sqrt{2} }{4},\mp \frac{  \sqrt{2} }{4} \right)
\]が極値の候補点となる。ただし、符号は複号同順*9。

Step2：候補点のときの \( f(x,y) \) の値を求める

つぎに、Step1で求めた4点の \( f(x,y) \) の値をすべて求めていきます。

(i) \(  \left( \pm \frac{1}{2},\pm \frac{1}{2} \right) \) のとき

\[\begin{align*}
f \left( \pm \frac{  1}{2}, \pm \frac{  1 }{2} \right) & =
\frac{1}{4} + \frac{1}{4} \\ & = \frac{1}{2}
\end{align*} \]

(ii) \(  \left( \pm \frac{  \sqrt{2} }{4},\mp \frac{  \sqrt{2} }{4} \right) \) のとき

\[\begin{align*}
f \left( \pm \frac{  \sqrt{2} }{4} ,\mp \frac{  \sqrt{2} }{4} \right) & =
\frac{1}{8} + \frac{1}{8} \\ & = \frac{1}{4}
\end{align*} \]となる。

Step3：本当に最大値・最小値かどうかを判定

\( 3x^2 - 2xy + 3y^2 = 1 \) は有界閉集合なので必ず最大値・最小値を持ちます。

なので (i), (ii) より\[
(x,y) = \left( \pm \frac{1}{2},\pm \frac{1}{2} \right)
\]のとき、最大値 \( \frac{1}{2} \) となり、\[
(x,y) = \left( \pm \frac{   \sqrt{2} }{4},\mp \frac{   \sqrt{2} }{4} \right)
\]のとき、最小値 \( \frac{1}{4} \) となる。

よって、原点OPとの距離が最大になる点と距離は、\[
(x,y) = \left( \pm \frac{1}{2},\pm \frac{1}{2} \right) \ のとき \ \frac{\sqrt{2}}{2}
\]となり、最小になる点と距離は、\[
(x,y) = \left( \pm \frac{  \sqrt{2} }{4},\pm \frac{  \sqrt{2} }{4} \right) \ のとき \ \frac{1}{2}
\]となる。

６．さいごに

今回は、条件が加わった2変数関数の極値を求める方法についてまとめました。

多くの人は \( \lambda \) を用いた数式でラグランジュの未定乗数法を解く人が多いですが、\[
\left| \begin{array}{ccc} f_x & g_x \\ f_y & g_y  \end{array} \right| = 0
\]を使うと余計な変数 \( \lambda \) を使わずに解けるのでぜひこちらの方法で解くことをおすすめします！