3時間で復習！　1年前期解析総まとめ (積分編)

こんにちは、ももやまです。

「1年前期の解析学の試験まであと1日しかない、あきらめよう。」って思ってる人、諦めないでください！！

試験前日でも数3レベルの知識があれば3時間で総復習ができるように10題の練習問題を作成しました！

こちらでは、積分編の解説記事を記載しております、微分編の解説記事は下のリンクからどうぞ！

3時間で復習！　1年前期解析学総まとめ (微分編)

2021.7.26

解析学の内容を3時間で復習できるうさぎ模試を作成しました。問題だけでなく、丁寧な解説などを載せております。こちらは微分編です。...

時間がある人はじっくり、時間がない人は素早くこの記事にて1年前期の解析学の復習をしましょう！

それぞれの練習問題の解説では、

• 試験で必要な知識：青色の枠
• 試験で必要な解き方：赤色の枠
• 覚えておくと便利な公式: 緑色の枠

で要点をまとめています。

※ 高校レベルの積分に少し不安がある人は、こちらの記事にて復習することをおすすめします。

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問題7. ★ 不定積分

(1) 部分積分

まずは部分積分の公式を確認しましょう。

\[\begin{align*}
\int \textcolor{magenta}{x^2} \textcolor{deepskyblue}{\log x} \ dx & = \textcolor{magenta}{\frac{1}{3} x^3} \log x - \int \frac{1}{3} x^3 \cdot \textcolor{deepskyblue}{ \frac{1}{x} }
\\ & = \frac{1}{3} x^3 \log x - \frac{1}{3} \int x^2 \ dx
\\ & = \frac{1}{3} x^3 \log x - \frac{1}{9} x^3 + C
\end{align*}\]

(2) t = tan(x/2) とおく積分

\( t = \tan \frac{x}{2} \) とおくことで三角関数が含まれる積分を計算することができます。

よって、\[\begin{align*}
\int \frac{1}{1 + \sin x + \cos x} \ dx & = \int \frac{1}{1 + \frac{2t}{1+t^2} + \frac{1-t^2}{1+t^2}} \cdot \frac{2}{1+t^2} \ dt
\\ & = \frac{1}{ \frac{1+t^2 + 2t + 1-t^2}{1+t^2} } \cdot \frac{2}{1+t^2} \ dt
\\ & = \frac{1+t^2}{2t + 2} \cdot \frac{2}{1+t^2} \ dt
\\ & = \frac{1}{1+t} \ dt
\\ & = \log \left| 1 + t \right| + C
\\ & = \log \left|1 + \tan \frac{x}{2} \right| + C
\end{align*}\]と計算できる。

★ マーク解答 ★

No.25: 9 [2点]
No.26: 3 [1点]
No.27: 8 [2点]
No.28: 1 [3点]
No.29: 7 [2点]

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問題8. ★ 定積分

(1) 三角関数への置換積分（or 逆三角関数へ持ち込む）

(i) 置換積分で解く

\( x = 3 \tan t \) とおく。\[
dx = \frac{3}{ \cos^2 t } \ dt
\]また、積分範囲は以下の表のようになる。

変数	積分範囲
\( x \)	\( \sqrt{3} \to 3 \)
\( t \)	\( \frac{\pi}{6} \to \frac{\pi}{4} \)

\[\begin{align*}
\int^{3}_{\sqrt{3}} \frac{9}{x^2+9} \ dx & = \int^{ \frac{\pi}{4} }_{ \frac{\pi}{6} } \frac{9}{9 + 9 \tan^2 x } \cdot \frac{3}{ \cos^2 t} \ dt
\\ & = \int^{ \frac{\pi}{4} }_{ \frac{\pi}{6} } \frac{1}{1 + \tan^2 t } \cdot \frac{3}{ \cos^2 t} \ dt
\\ & = \int^{ \frac{\pi}{4} }_{ \frac{\pi}{6} } \cos^2 t \cdot \frac{3}{ \cos^2 t} \ dt
\\ & = \int^{ \frac{\pi}{4} }_{ \frac{\pi}{6} } 3 \ dt
\\ & = \left[ 3t \right]^{ \frac{\pi}{4} }_{ \frac{\pi}{6} }
\\ & = \frac{3}{4} \pi - \frac{\pi}{2}
\\ & = \frac{\pi}{4}
\end{align*}\]と計算できる。

(ii) 逆三角関数の形に持ち込む

大学数学で習う逆三角関数の力を借りると、置換なしに計算をすることができます。

ここで、逆三角関数への積分公式を確認しておきましょう。（微分編とはちょっと違った書き方をしています。）

今回の場合、\[\begin{align*}
\ \int^{3}_{\sqrt{3}} \frac{9}{x^2+9} \ dx & = 3 \int^{3}_{\sqrt{3}} \frac{3}{x^2+3^2} \ dx
\\ & = 3 \left[ \tan^{-1} \frac{x}{3} \right]^{3}_{ \sqrt{3} }
\\ & = 3 \left( \tan^{-1} 1 - \tan^{-1} \frac{ \sqrt{3} }{3} \right)
\\ & = 3 \left( \frac{ \pi }{4} - \frac{ \pi }{6} \right)
\\ & = 3 \cdot \frac{ \pi }{ 12 }
\\ & = \frac{ \pi }{ 4}
\end{align*}\]と計算できる。

(2) 部分積分の省略（ブンブン積分）

今回のように被積分関数が「多項式（ \( x^a \) の形）」と「三角関数や \( e^x \) の形」となっている場合は、部分積分の省略公式（ブンブン積分）が使えます。

\[\begin{align*}
& \int^{\pi}_{0} x^2 \sin x \ dx
\\ = \ & \left[ x^2 ( -\cos x ) - 2x ( - \sin x ) + 2 ( \cos x ) \right]^{\pi}_{0}
\\ = \ & \left( \pi^2 - 2 \right) - 2
\\ = \ & \pi^2 - 4
\end{align*}\]

部分分数分解の省略公式（ブンブン積分）の練習をもっとしたい人はこちらでどうぞ！

(3) 部分分数分解を用いた積分

(多項式)/(多項式) の分数になっている問題については、部分分数分解を用いて以下の公式に持ち込む。

分母を\[
2x^2 - 3x - 2 = (2x + 1)(x - 2)
\]と因数分解できる。ここで、\[
\frac{2x+6}{2x^2 - 3x - 2} = \frac{a}{2x+1} + \frac{b}{x-2}
\]の形に分解することを考える。両辺を \( (2x + 1)(x - 2) \) 倍すると、\[
2x + 6 = a (x-2) + b (2x+1)
\]となる。

• \( x = 2 \) を代入 → \( 10 = 5b \) より、\( b = 2 \)
• \( x = -1/2 \) を代入 → \( 5 = - 5a/2 \) より、\( a = -2 \)

つまり、\[
\frac{2x+6}{2x^2 - 3x - 2} = - \frac{2}{2x+1} + \frac{2}{x-2}
\]と部分分数分解できる。

よって、\[\begin{align*}
\int^{1}_{0} \frac{2x+6}{2x^2 - 3x - 2} \ dx & = - \int^{1}_{0} \frac{2}{2x+1} \ dx + 2 \int^{1}_{0} \frac{1}{x-2} \ dx
\\ & = - \left[ \log (2x+1) \right]^{1}_{0} + 2 \left[ \log | x - 2 | \right]^{1}_{0}
\\ & = - \log 3 + 2 \log 1 - \left( \log 1 + 2 \log 2 \right)
\\ & = - 2 \log 2 - \log 3
\end{align*}\]と計算できる。

部分分数分解の積分をもっと練習したい人はこちらから！！

★ マーク解答 ★

No.30: 4 [3点]
No.31: 9 [3点]
No.32: 18 [4点]

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問題9. ★媒介変数表示

(1) 媒介変数表示の導関数

まずは媒介変数表示の導関数の計算方法を確認しておきましょう。

\( \frac{dx}{dt} \), \( \frac{dy}{dt} \) はそれぞれ\[\begin{align*}
\frac{dx}{dt} & = - \sin t (1 + \cos t) + \cos t \cdot (- \sin t )
\\ & = - \sin t - 2 \sin \cos t
\\ & = - \sin t - \sin 2t
\end{align*}\]\[\begin{align*}
\frac{dy}{dt} & = \cos t (1 + \cos t) + \sin t ( - \sin t )
\\ & = \cos t + \cos^2 t - \sin^2 t
\\ & = \cos t + \cos 2t
\end{align*}\]

となるため、導関数は\[\begin{align*}
\frac{dy}{dx} & = \frac{ \frac{dy}{dt} }{ \frac{dx}{dt} }
\\ & = - \frac{ \cos t + \cos 2t }{ \sin t + \sin 2t }
\end{align*}\]となる。

(2) 曲線の長さ

まずは、曲線の長さの公式を確認しておきましょう。

今回は区間 \( 0 \leqq t \leqq \pi \) の媒介変数表示の曲線の長さ \( L \) を求めればOK。

\[\begin{align*}
L & = \int^{\pi}_{0} \sqrt{ \left( \frac{dx}{dt} \right)^2 + \left( \frac{dy}{dt} \right)^2 } \ dt
\\ & = \int^{\pi}_{0} \sqrt{ \left( - \sin t - \sin 2t \right)^2 + \left( \cos t + \cos 2t \right)^2 }
\\ & = \int^{\pi}_{0} \sqrt{ (\sin^2 t + 2 \sin t \sin 2t + \sin^2 2t) + (\cos^2 t + 2 \cos t \cos 2t + \cos^2 2t ) } \ dt
\\ & = \int^{\pi}_{0} \sqrt{ (\sin^2 t + \cos^2 t) + (\sin^2 2t + \cos^2 2t) + 2 (\cos 2t \cos t + \sin 2t \sin t ) } \ dt
\\ & = \int^{\pi}_{0} \sqrt{ 2 + 2 \cos (2t-t) } \ dt \ \ \left( \because \ \cos \mathrm{の加法定理} \right)
\\ & = \int^{\pi}_{0} \sqrt{ 2(1 + \cos t) } \ dt
\\ & = \int^{\pi}_{0} \sqrt{ 4 \cos^2 \frac{t}{2} } \ dt \ \ \ \left( \because \frac{1 + \cos t}{2} = \cos^2 \frac{t}{2} \right)
\\ & = \int^{\pi}_{0} 2 \cos \frac{t}{2} \ dt \ \ \ \left( \because \cos \frac{t}{2} \geqq 0 \right)
\\ & = \left[ 4 \sin \frac{t}{2} \right]^{\pi}_{0}
\\ & = 4
\end{align*}\]と計算できる。

★ マーク解答 ★

No.33: 9 [2点]
No.34: 0 [2点]
No.35: 1 [3点]
No.36: 3 [1点]
No.37: 4 [2点]

加法定理を逆に適用する部分\[
\cos ( \alpha - \beta ) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta
\]\[
\cos ( 2t - t ) = \cos 2t \cos t + \sin 2t \sin t
\]は、1回練習をしておかないと、思いつかない可能性があるので、必ず復習をしておきましょう。

問題10. 広義積分

(1) ある1点で定義されていない関数の積分

積分しようとしている関数は、\( x = 1 \) のとき、分母が0になってしまい定義されませんね。

そこで、1より少し小さい値 \( 1 - \varepsilon \) までを積分し、最後に \( \epsilon \to +0 \) と極限を近づけて計算を行います。

\[\begin{align*}
\int^{1}_{0} \frac{x}{ \sqrt{1 - x^2} } \ dx & = \lim_{ \varepsilon \to + 0 } \int^{1 - \varepsilon}_{0} \frac{x}{ \sqrt{1 - x^2} }
\end{align*}\]

ここで、\[\begin{align*}
& \int^{1 - \varepsilon}_{0} \frac{x}{ \sqrt{1 - x^2} } \ dx
\\ & \ = - \frac{1}{2} \int^{1 - \varepsilon}_{0} \frac{2x}{ \sqrt{1 - x^2} } \ dx
\\ & \ = - \frac{1}{2} \left[ \sqrt{ 1 - x^2} \cdot 2 \right]^{1 - \varepsilon}_{0}
\\ & \ = - \frac{1}{2} \left( 2 ( \sqrt{ (1 - (1- \varepsilon)^2 } - 1 \right)
\\ & \ = 1 - \sqrt{ - \varepsilon^2 + 2 \varepsilon }
\end{align*}\]と計算できるため、\[\begin{align*}
\int^{1}_{0} \frac{x}{ \sqrt{1 - x^2} } \ dx & = \lim_{ \varepsilon \to + 0 } \int^{1 - \varepsilon}_{0} \frac{x}{ \sqrt{1 - x^2} }
\\ & = \lim_{ \varepsilon \to + 0 } 1 - \underbrace{ \sqrt{ - \varepsilon^2 + 2 \varepsilon } }_{ 0 \mathrm{に収束} }
\\ & = 1
\end{align*}\]と計算できる。

(2) 範囲に無限が含まれる積分

積分しようとしている関数の範囲に \( \infty \) が含まれていますね。

この場合、\( R \to \infty \) とおき、積分を行います。つまり、\[
\int^{\infty}_{0} \frac{1}{(1+x)^3} \ dx = \lim_{R \to \infty} \int^{R}_{0} \frac{1}{(1+x)^3} \ dx
\]を求めます。

ここで、\[\begin{align*}
\int^{R}_{0} \frac{1}{(1+x)^3} \ dx & = \int^{R}_{0} (1+x)^{-3} \ dx
\\ & = \left[ - \frac{1}{2} (1+x)^{-2} \right]^{R}_{0}
\\ & = \left[ - \frac{1}{2(1+x)^2} \right]^{R}_{0}
\\ & = - \frac{1}{2} \left( \frac{1}{(1+R)^2} - 1 \right)
\end{align*}\]となる。

よって、\[\begin{align*}
\int^{\infty}_{0} \frac{1}{(1+x)^3} \ dx & = \lim_{R \to \infty} \int^{R}_{0} \frac{1}{(1+x)^3} \ dx
\\ & = \lim_{R \to \infty} - \frac{1}{2} \left( \underbrace{ \frac{1}{(1+R)^2} }_{ 0 \mathrm{に収束} } - 1 \right)
\\ & = \frac{1}{2}
\end{align*}\]と計算できる。

★ マーク解答 ★

No.38: 3 [3点]
No.39: 1 [2点]
No.40: 5 [5点]

広義積分がまだ苦手だなと思った方は、下の記事にて復習をしましょう！

うさぎでもわかる解析　Part11　広義積分（広義積分の基本と注意点）・優関数の原理

2019.7.25

こんにちは、ももやまです。今回は広義積分のまとめをしたいと思います。     １．普通の定積分と広義積分の違い 定積分では積分範囲が定義されている値の範囲に必ず含まれていました。 ...

おまけ問題. 広義積分の応用

うさぎ模試のPDFにはありませんが、余裕がある方はぜひチャレンジしてみてください。

解答

今回の問題のように、

• 普通に積分するのが難しそう
• 広義積分の収束だけを確認すればいい（具体的に何に収束するかを求めなくてよい）

の場合、優関数の原理を使うことを疑ってください。

優関数の原理を使いそうだなと思ったら、まずは（積分範囲内で常に）被積分関数よりも大きくなり、なおかつ広義積分が簡単に出せそうなものを探しましょう。

今回の場合、問題10の(2)の答え\[
\int^{\infty}_{0} \frac{1}{(1+x)^3} \ dx = \frac{1}{2}
\]を使うのが一番いいでしょう。

ここで、\( | \sin x | \leqq 1 \) なので当然 \( | \sin^3 x | \leqq 1 \) となり、当然\[
\left| \frac{ \sin^3 x }{ (1+x)^3 } \right| \leqq \frac{1}{(1+x)^3}
\]が成立しますよね。

よって\[
\int^{\infty}_{0} \frac{1}{(1+x)^3} \ dx
\]が \( \frac{1}{2} \) に収束するため、優関数の原理より、\[
\int^{\infty}_{0} \frac{\sin^3 x}{(1+x)^3} \ dx
\]も収束する。

さいごに

今回は、微分編・積分編の2つの記事で1年前期で習う解析学の総復習記事を作成いたしました。

1年前期大学で習う解析学は、1年生後期で習う「2変数関数の微積分」、およびその後の「複素解析」、「フーリエ変換」など様々な場面で使うこととなるので、必ず計算できるようになっておきましょう。