4時間で復習！　1年後期解析学総まとめ　後編

こんにちは、ももやまです。

前編の「うさぎ模試　1年後期解析学　フォーム編」にて、解析学で使う知識の確認はできましたでしょうか。

後編ではより実践的な解析学の力をつけるために、記述型の問題を5問用意しました！

※ まだ前編（フォーム式）にチャレンジしていない方は、前編からすることをおすすめします！

4時間で復習！　1年後期解析学総まとめ　前編

2022.2.10

1年後期の解析学の内容を4時間で復習できるうさぎ模試を作成しました！前編では期末試験に必要な知識を浅く広く確認するフォーム形式の問題を5問用意しています！...

時間がある人はじっくり、時間がない人は素早くこの記事にて1年後期で習う解析学の復習をしましょう！

本記事では、前編と同じく練習問題の解説を載せております。さらに、要点を

• 試験で必要な知識：青色の枠
• 試験で必要な解き方：赤色の枠

などでまとめております。

※ 採点は各自でお願いします。

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問題1. 2変数関数の極値

[解答]

 (1) (0,0), (-1,-2)  [2点+3点=5点]
 (2) 極小値をもつ（極小値：-1）[5点] [解説]

(1) 2変数関数 \( f(x,y) \) が点 \( (a,b) \) において、\[
f_{x} (a,b) =f_{y} (a,b) = 0
\]を満たす点が停留点となる。

まず、2変数関数 \( f(x,y) \) を \( x \), \( y \) それぞれで偏微分する。\[
f_{x} = 4x^3 + 12x - 8y \]\[
f_{y} = 4y - 8x
\]ここで、停留点であれば、\[
f_{y} = 4y - 8x = 0
\]が成り立つので、\( 4y = 8x \)、つまり \( y = 2x \) が成立する。

また、停留点であれば\[\begin{align*}
f_{x} & = 4x^3 + 12x - 8y
\\ & = 4x^3 + 12x - 16x
\\ & = 4x^3 - 4x
\\ & = 4x (x^2 - 1)
\\ & = 4x (x + 1)(x - 1) = 0
\end{align*}\]も成立する。

よって停留点の \( x \) 座標は \( x = -1, 0, 1 \) の3つにしぼられる。

また、\( y = 2x \) より、それぞれの停留点は \( (0,0) \), \( (1,2) \), \( (-1,-2) \) となる。

よって \( (1,2) \) 以外の停留点は \( (-1,-2) \), \( (0,0) \) となる。

(2) \( f(x,y) \) の2次導関数を求めると、\[
f_{xx} = 12x^2 + 12 \]\[
f_{xy} = -8 \]\[
f_{yy} = 4
\]となる。\( (x,y) = (1,2) \) のとき、ヘッセ行列 \( H \) は\[\begin{align*}
H & = \left| \begin{array}{ccc} f_{xx} & f_{xy} \\ f_{yx} & f_{yy} \end{array} \right|
\\ & = \left| \begin{array}{ccc} 24 & -8 \\ -8 & 4 \end{array} \right|
\\ & = 8 \cdot 4 \left| \begin{array}{ccc} 3 & -1 \\ -2 & 1 \end{array} \right|
\\ & = 32 \cdot (3-2)
\\ & = 32 > 0
\end{align*} \]なので、\( (1,2) \) は極値となることがわかる。さらに \( (1,2) \) のとき、\[
f_{xx} = 24 > 0
\]なので、点 \( (1,2) \) は極小値を持つ。

前編でも公式を紹介しましたが、念のためもう1度確認しておきましょう。

2変数関数の極値を求める方法についての更なる復習はこちらをご覧ください。

うさぎでもわかる解析　Part20　2変数関数の極値

2019.9.18

こんにちは、ももやまです。 今回から3回にわけて2変数関数の極値についてまとめていきたいと思います。 今回は特に条件もなにもない一番シンプルな場合の極値についてです。 前回の記事（...

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問題2. 条件付き2変数関数の極値

[解答]

極値：1/2, -1/2

[解説]

\( g(x,y) = x^2 + y^2 - 1 = 0 \) とする。すると、\[
f_{x} = y ,  \ \ \ f_{y} = x \]\[
g_{x} = 2x, \ \ \ g_{y} = 2y
\]となるのでラグランジュの未定乗数法により\[\begin{align*}
H & = \left| \begin{array}{ccc} f_{x} & g_{x} \\ f_{y} & g_{y} \end{array} \right|
\\ & = \left| \begin{array}{ccc} y & 2x \\ x & 2y \end{array} \right|
\\ & = 2y^2 - 2x^2
\\ & = 2(y^2 - x^2)
\\ & = 2(y-x)(y+x)
\\ & = 0
\end{align*} \]つまり \( y - x = 0 \) or \( y + x = 0 \) が成立する。

よって、\( y = \pm x \) も成立するので、\( g(x,y) = 0 \) に代入して候補点を求める。\[\begin{align*} 
g(x) & =
x^2 + (\pm x)^2 - 1
\\ & = x^2 + x^2 - 1
\\ & = 2x^2 - 1
\\ & = 0
\end{align*} \]となるので、\( x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2} \) が候補点の \( x \) 座標。

ここで \( y = \pm x \) より、\[
(x,y) = \left( \pm \frac{ \sqrt{2} }{2}, \pm \frac{ \sqrt{2} }{2} \right)
\]が極値の候補点（全部で4点）となる。ただし符号は複号任意。

あとは4点を \( f(x,y) \) に代入することで極値を求める。

(i) \( (x,y) = \left( \pm \frac{ \sqrt{2} }{2} ,\pm \frac{ \sqrt{2} }{2}  \right) \) のとき（複号同順）

\[\begin{align*}
f(x,y) & = xy  \\ & = \left( \pm \frac{ \sqrt{2} }{2} \right) \cdot \left( \pm \frac{ \sqrt{2} }{2} \right) \\ & = \frac{1}{2}
\end{align*}\] 

(ii) \( (x,y) = \left( \pm \frac{ \sqrt{2} }{2} ,\mp \frac{ \sqrt{2} }{2}  \right) \) のとき（複号同順）

\[\begin{align*}
f(x,y) & = xy  \\ & = \left( \pm \frac{ \sqrt{2} }{2} \right) \cdot \left( \mp \frac{ \sqrt{2} }{2} \right) \\ & = - \frac{1}{2}
\end{align*}\] となるので、

極値は、1/2, -1/2 となる。（極大値は1/2、極小値は-1/2）

条件付きの2変数関数の極値（ラグランジュの未定乗数法）についてさらなる復習をしたい人はこちら！

うさぎでもわかる解析　Part21　条件付き2変数関数の極値・行列を用いたラグランジュの未定乗数法

2019.9.19

こんにちは、ももやまです。 前回は、2変数関数 ＼( f(x,y) ＼) の極値（極大値・極小値）を求める方法をまとめましたね。 しかし、実際に2変数関数の最大値・最小値を調べると...

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問題3. 2重積分の基礎

[解答]

(1) 下の解説を参照
(2) 2

[解説]

(1) 下の図のようになる。

ついでに積分範囲も交換する。

(2) \( y \) 側の積分領域に文字が含まれているため、\( y \) から先に積分しなければならない。

しかし、積分 \[ \int \frac{ \sin y }{ y } \ dy \] の不定積分は求められない。

そこで、積分順序を入れ替えることで、\( x \) から積分できるようにする。積分範囲を入れ替えると、\[
D = \{ (x,y) \mid 0 \leqq x \leqq y, \ 0 \leqq y \leqq \pi \ \}
\]となる。よって、\[
\iint_{D} \frac{ \sin y }{ y} \ dxdy = \int^{\pi}_0 \left( \int^{y}_0 \frac{ \sin y }{ y } \ dx \right) \ dy
\]の計算をすればよい。

ここで、\[\begin{align*}
\int^{y}_0 \frac{ \sin y }{ y } \ dx & =
\frac{ \sin y }{ y } \int^{y}_0 1 \ dx \\ & =
\frac{ \sin y }{ y } \left[ x \right]^{y}_0  \\ & =
\frac{ \sin y }{ y } \cdot y \\ & =
\sin y
\end{align*}\]となるので、\[\begin{align*}
\iint_{D} \frac{ \sin y }{ y} \ dxdy & = \int^{\pi}_0 \left( \int^{y}_0 \frac{ \sin y }{ y } \ dx \right) \ dy
\\ & = \int^{\pi}_0 \sin y \ dy
\\ & = \left[ - \cos y \right]^{\pi}_0
\\ & = 1 + 1
\\ & = 2
\end{align*}\]と計算できる。

積分範囲の交換、および2重積分の基本的な問題を解く練習をさらにしたい方はこちら！

うさぎでもわかる解析　Part23　2重積分の基礎・積分範囲の交換

2019.9.22

こんにちは、ももやまです。 今回から2重積分を数回にわけて説明していきたいと思います。 まずは2重積分の基礎についてと、積分範囲の交換についてです。 前回の記事はこちら！ （Par...

問題4. 2重積分と変数変換

[解答]

(1) 変数変換：\( x + y = 2p \), \( x - y = 2q \)、ヤコビアン：2  [5点]
(2) \( \frac{9}{2} (e^4 - 1) \)  [5点] [解説] 

(1) \( x + y = 2p \), \( x - y = 2q \) とする。すると、\[
2x = 2p + 2q, \ \ \ 2y = 2p - 2q 
\]より、\[
\left\{ \begin{array}{l} x = p + q \\ y = p - q \end{array}\right. 
\]となる。よってヤコビアン \( J \) は\[\begin{align*}
J = & \left| \begin{array}{ccc} \frac{\partial x}{\partial p} & \frac{\partial x}{\partial q} \\ \frac{\partial y}{\partial p} & \frac{\partial y}{\partial q} \end{array} \right|
\\ = & \left| \begin{array}{ccc} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{array} \right| 
\\ = & -2
\end{align*}\]の絶対値となるので、\[
dxdy = 2 \ dpdq \]\[
D'= \{ (p,q) \mid 0 \leqq p \leqq 3, \ 0 \leqq q \leqq 1 \ \}
\]となる。

(2) (1)より、\[\begin{align*}
\iint_{D} (x^2 - y^2) e^{ (x-y)^2 } \ dxdy & = 
\iint_{D'} 2 \cdot 4pq e^{ 4q^2 } \ dpdq \\ & =
\int^{3}_{0} p \ dp \cdot \int^{1}_{0} 8 qe^{ 4q^{2} } \ dq
\end{align*}\]を計算すればよい。

それぞれの積分を求めると、\[\begin{align*}
\int^{3}_{0} p \ dp & = \left[ \frac{1}{2} p^2 \right]^{3}_{0}
\\ & = \frac{1}{2} \cdot 3^2
\\ & = \frac{9}{2}
\end{align*} \]、\[\begin{align*}
\int^{1}_{0} 8 qe^{ 4q^{2} } \ dq & = \left[ e^{ 4q^{2} } \right]^{1}_{0}
\\ & = e^4 - 1
\end{align*} \]となるので、\[\begin{align*}
\iint_{D} (x^2 - y^2) e^{ (x-y)^2 } \ dxdy & = 
\iint_{D'} 2 \cdot 4pq e^{ 4q^2 } \ dpdq \\ & =
\int^{3}_{0} p \ dp \cdot \int^{1}_{0} 8 qe^{ 4q^{2} } \ dq \\ & =
\frac{9}{2}(e^4 - 1)
\end{align*}\]となる。

変数変換（ヤコビアン）を用いた2重積分の練習をさらにしたい方はこちら！

うさぎでもわかる解析　Part24　変数変換を用いた2重積分の求め方・ヤコビアン

2019.9.23

こんにちは、ももやまです。 今回は置換積分の2重積分バージョンに進化したものを紹介していきたいと思います。 前回の記事（Part23　2重積分の基礎・積分範囲の交換）はこちら！ w...

問題5. 2重積分と変数変換

[解答]

(1) \( a \gt 1 \)  [5点]
(2) \( \frac{\pi}{a-1} \)  [5点] [解説]

(1) \( x = r \cos \theta \), \( y = r \sin \theta \) とすると、ヤコビアンは \( r \) となるので、\[
dxdy = r \ dr d \theta
\]となる。また、積分領域 \( D' \) は、\[\begin{align*}
D' = \{ (r, \theta ) \mid 0 \leqq r , \ 0 \leqq \theta \leqq 2 \pi \ \}
\end{align*}\]となる。よって、\[\begin{align*}
\iint_{D} \frac{1}{ (x^2 + y^2 + 1)^a } \ dxdy & = \iint_{D'} \frac{r}{ (r^2 + 1)^a } \ dr d \theta
\\ & =  \int^{2 \pi}_{0} 1 \ d \theta \cdot \lim_{R \to \infty} \int^{R}_{0} \frac{r}{ (r^2 + 1)^a } \ dr
\end{align*}\]を求めればよい（広義積分に注意）。

ここで広義積分となっている \( r \) の積分について考える。\[\begin{align*}
\int^{R}_{0} \frac{r}{ (r^2 + 1)^a } \ dr & = \frac{1}{2} \int^{R}_{0} 2r (r^2+1)^{-a} \ dr
\\ & = \frac{1}{2} \left[ \frac{1}{1-a} \cdot (r^2+1)^{-a+1} \right]^{R}_{0}
\\ & = \frac{1}{2(1-a)} \cdot \left( (R^2+1)^{1-a}  - 1 \right)
\\ & = \frac{1}{2(1-a)} \cdot \left( (R^2+1)^{1-a}  - 1 \right)
\end{align*} \]となる。

よって\( R \to \infty \) のときに \(  (R^2+1)^{1-a} \) を収束させるためには、\( 1 - a \lt 0 \) であればよい。

つまり、\( a \gt 1 \) のときに広義積分が存在（収束）する。

(2) \( a \gt 1 \) とすると、\[\begin{align*} &
\lim_{R \to \infty} \int^{R}_{0} \frac{r}{ (r^2 + 1)^a } \ dr \\ = \ &
\lim_{R \to \infty} \left (\frac{1}{2(1-a)} \cdot \left( (R^2+1)^{1-a}  - 1 \right) \right)\\ = \ &
\left (\frac{1}{2(1-a)} \cdot \left( 0  - 1 \right) \right)\\ = \ &
\frac{1}{2(a-1)}
\end{align*} \]となる。

さらに、\[ \begin{align*}
\int^{2 \pi}_{0} 1 \ d \theta = 2 \pi
\end{align*} \]なので、\[\begin{align*}
\iint_{D} \frac{1}{ (x^2 + y^2 + 1)^a } \ dxdy & = \iint_{D'} \frac{r}{ (r^2 + 1)^a } \ dr d \theta
\\ & =  \int^{2 \pi}_{0} 1 \ d \theta \cdot \lim_{R \to \infty} \int^{R}_{0} \frac{r}{ (r^2 + 1)^a } \ dr
\\ & = 2 \pi \cdot \frac{1}{2(a-1)}
\\ & = \frac{\pi}{a-1} 
\end{align*}\]となる。

2変数の広義積分を解く練習をさらにしたい人はこちら！

うさぎでもわかる解析　Part26　広義2重積分・ガウス積分

2019.9.25

こんにちは、ももやまです。 今回は2重積分における広義積分、および解析学を習った理系学生なら必ず知っておきたいガウス積分についてまとめました。 前回の記事（Part25）はこちら！...