【イカサマを見抜け！】うさぎでもわかる確率・統計　カイ2乗分布のいろは②　適合度の検定

サイコロを使ったゲームって色々ありますよね。すごろく、桃鉄、TRPG、チンチロリン、色々あります。

その中で、相手の人が降った出目がやたら良かったら「この人イカサマなサイコロ使ってるんじゃね？」と思うこと、ありますよね。

表1. サイコロを60回振ったときの期待度数（理論値）と実際の観測度数の例

今回は、「この人あきらかにイカサマしてるだろ！」というのを、数値で表すための指標である適合度と、適合度を使った検定の仕方について、一緒に勉強していきましょう。

この検定法が分かると、「この人は不正をしている」というのが、数学的に言えるようになりますよ！

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1. 適合度ってなに？

まずは、「適合度ってなんだ？」というところから始めましょう。

例えば、サイコロの出目を考えてみましょう。

理論的には、サイコロ振ったときの出目は、1, 2, 3, 4, 5, 6 すべて同じ確率で出てきます。つまり、6回に1回はそれぞれの目が出てきます。（＝どの目も出る確率は1/6である。）

表2. 理論的なサイコロにおいて、各目の出る確率

出目	1	2	3	4	5	6
確率	\( \frac{1}{6} \)	\( \frac{1}{6} \)	\( \frac{1}{6} \)	\( \frac{1}{6} \)	\( \frac{1}{6} \)	\( \frac{1}{6} \)

例えば、60回サイコロを振った場合、理論的には各目が10回（60回×1/6＝10回）ずつ出てきます。

表3. サイコロを60回振ったとき、各目が出る理論的な回数
（各目ごとの期待度数）

出目	1	2	3	4	5	6
期待度数	10	10	10	10	10	10

しかし、現実世界では「どの目も同じ確率で出る」なんてことはありません。たまたま1が多かったり、3が多かったりするなんてこともあります。

この「理論値（理想的な分布）」と「現実世界のデータ（実際の分布）」のズレを測るのが適合度という指標なのです。

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2. 適合度の定義

つぎに、適合度が、どのように定義されるかを見ていきましょう。

実際に上の定義に従って、1つ適合度を計算してみましょう。

例えば、サイコロを60回振ったとき、各出目の出た回数が下の表で与えられたとします。

表2. サイコロを60回振ったときの、各出目の出た回数（実際の分布）

出目	1	2	3	4	5	6
回数	5	5	7	13	14	16

この表から、サイコロを60回振ったときの適合度 \( \chi^2 \) を計算します。

まず、サイコロを60回振ったとき、理論的に各出目が何回くらい出るか（＝期待度数）を求めます。

期待度数は、（試行回数）×（確率）で求められるので、各目の出る回数の理論値は\[
60 \times \frac{1}{6} = 10
\]と求められます。

つぎに、各出目ごとに出た目の回数（観測度数）を使って、残差（観測度数－期待度数）を2乗して、期待度数で割ったものを求めていきます。

出目	1	2	3	4	5	6
観測度数	5	5	7	13	14	16
期待度数	10	10	10	10	10	10
残差	-5	-5	-3	3	4	6
残差2	25	25	9	9	16	36
残差2÷期待度数	2.5	2.5	0.9	0.9	1.6	3.6

最後に、各目で求めた残差²÷期待度数をすべて足せば、適合度が求められます。

途中式を数式で書くと、こんな感じです。\[\begin{align*}
\chi^2 & = \frac{ (5-10)^2 }{10} + \frac{ (5-10)^2 }{10} + \frac{ (7-10)^2 }{10} + \frac{ (13-10)^2 }{10} + \frac{ (14-10)^2 }{10} + \frac{ (16-10)^2 }{10}
\\ & = \frac{25}{10} + \frac{25}{10} + \frac{9}{10} + \frac{9}{10} + \frac{16}{10} + \frac{36}{10}
\\ & = 2.5 + 2.5 + 0.9 + 0.9 + 1.6 + 3.6
\\ & = 12.0
\end{align*}\]

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3. 適合度検定とカイ2乗分布

適合度についての求め方を紹介したので、いよいよ「この人あきらかにイカサマしてるだろ！（＝理論的な分布とはかけ離れている）」というのを証明するための方法、適合度検定について見ていきましょう。

【適合度検定の流れ】

• ある基準となる確率（有意水準） \( \alpha \) を設定する。
  ※ 問題文に与えられている。
• 実際の分布となる確率と、基準値 \( \alpha \) を比べて、採択／棄却を決定する。
  • 採択 … 実際に起こった現象が起こる確率 ≧ \( \alpha \)
    → 理論的な分布と一致していないとは言えない。（偶然の範囲内であり、イカサマとは言えない。）
  • 棄却 … 実際に起こった現象が起こる確率 ＜ \( \alpha \)
    → 理論的な分布と一致していないといえる。（イカサマである。）

ここで確率を比べる際には、適合度 \( \chi^2 \) が自由度 \( n - 1 \) のカイ2乗分布に従うことを利用します。

【自由度が \( n-1 \) となる理由】

観測度数の合計値が分かれば、1カテゴリの観測値が分からなくても、合計値から逆算出来るからです。

例えば、サイコロの各出目がこんな感じであったとします。

出目	1	2	3	4	5	6	合計
回数	5	5	★	13	14	16	60

このとき、★の値が分からなくても "合計" から各出目ごとの出た回数から、\[
60 - (5+5+13+14+16) = 7
\]と復元することが出来ます。

そのため、復元できる1カテゴリには情報量がないと考えられ、自由度が \( n-1 \) となります。

【適合度検定は、どんなときに使う？】

分布全体に着目して、その分布が理論的な分布とかけ離れている or 偶然の誤差であるかを判定します。　

例) サイコロの例の場合、イカサマサイコロかどうかを判定するために、各出目ごとの出た回数すべてに着目して判定したい場合に使用^[1]ある出目1つの出た回数に着目する場合は、母比率の検定などで可能。。

【適合度検定が、必ず片側検定となる理由】

適合度検定では、理論的な分布と実際の分布のズレが「偶然の範囲内」か「理論分布とあっていないか」を確認する検定です。

ここで、適合度（カイ2乗値）の大小は、次の意味を持っています。

• 適合度が小さい（0に近い）　 … 理論分布に近い状態
• 適合度が大きい（0から遠い）… 理論分布から離れた状態

そのため、適合度が小さい状態は問題がなく、適合度が大きい状態のときのみ問題があると言えます。

よって、適合度検定では必ず片側検定となるのです。

4. 例題にチャレンジ！

では、例題で実際に適合度検定をしてみましょう。

解説

(1)

帰無仮説 \( H_0 \) : 岡本さんが振ったサイコロはまともなサイコロである。
→ 岡本さんが振ったサイコロの各目が出る確率は、すべて 1/6。

対立仮説 \( H_1 \) :  岡本さんが振ったサイコロはまともなサイコロではない。
→ 岡本さんが振ったサイコロの各目が出る確率が「すべて 1/6」とはいえない。

※ 帰無仮説 \( H_0 \) は、仮説検定をするにあたって立てる仮定なので、「各目の出る確率が 1/6（＝サイコロがまとも）」としないと、適合度の計算が出来ない^[2]サイコロがまともと仮定したときの確率を、期待度数として計算し、観測度数と期待度数のかけ離れ度合いを適合度として出している。。

(2)

今回は、サイコロの各出目に着目（＝分布に着目）しているため、適合度検定を実施します。

また、カテゴリ数は6（サイコロの出目は1～6）ですね。なので、自由度は 6 - 1 = 5 です。

よって、答えは「自由度5のカイ2乗分布」となります。

(3)

次の流れで、適合度を計算していきます。

• Step1. 適合度 \( \chi^2 \) を計算する。
• Step2. 有意水準 \( \alpha = 0.05 \) [5%]、自由度5に相当するカイ2乗値 \( \chi^2_0 \) をカイ2乗分布表から求める。
• Step3. \( \chi^2 \) と \( \chi_0^2 \) を比べ、採択／棄却を決定する。
  • \( \chi^2 \leqq \chi_0^2 \) → 仮説は採択。（サイコロはまともではないとは言えない。ただの偶然）
  • \( \chi^2 > \chi_0^2 \) → 仮説は棄却。（サイコロはまともでないといえる。）

Step1. 適合度 \( \chi^2 \) の計算（2章と同じ計算）

各出目ごとに出た目の回数（観測度数）を使って、残差（観測度数－期待度数）を2乗して、期待度数で割ったものを求めていきます。

出目	1	2	3	4	5	6
観測度数	5	5	7	13	14	16
期待度数	10	10	10	10	10	10
残差	-5	-5	-3	3	4	6
残差2	25	25	9	9	16	36
残差2÷期待度数	2.5	2.5	0.9	0.9	1.6	3.6

あとは、各目ごとに求めた残差²÷期待度数をすべて足せば、OKです。\[\begin{align*}
\chi^2 & = \frac{ (5-10)^2 }{10} + \frac{ (5-10)^2 }{10} + \frac{ (7-10)^2 }{10} + \frac{ (13-10)^2 }{10} + \frac{ (14-10)^2 }{10} + \frac{ (16-10)^2 }{10}
\\ & = \frac{25}{10} + \frac{25}{10} + \frac{9}{10} + \frac{9}{10} + \frac{16}{10} + \frac{36}{10}
\\ & = 2.5 + 2.5 + 0.9 + 0.9 + 1.6 + 3.6
\\ & = 12.0
\end{align*}\]

Step2. カイ2乗表から読み取り

有意水準 \( \alpha = 0.05 \) [5%]、自由度5に相当するカイ2乗値 \( \chi^2_0 \) をカイ2乗分布表から読み取ります。

結果、11.070 と読み取れます。\( \chi^2_0 = 11.070 \) としましょう。

Step3. 採択／棄却の決定

適合度 \( \chi^2 = 12.000 \)、有意水準 \( \alpha = 0.05 \) [5%]、自由度5に相当するカイ2乗値 \( \chi^2_0 = 11.070 \) より、\[
\chi^2 = 12.000 > 11.070 = \chi^2_0
\]となります。

よって、仮説は棄却され、岡本さんが振ったサイコロはまともではない（＝イカサマサイコロである）といえます。

5. 練習問題にチャレンジ！

では、最後に練習問題を解いて、適合度検定が理解できているか確認しましょう。

6. 練習問題の答え

(1)

帰無仮説 \( H_0 \) : 学生100人の血液型データは、日本人の血液型分布と同じと言える。
→ 血液型分布は、A型が40%（100人中40人）、O型は30%（100人中30人）、B型が20%（100人中20人）、AB型が10%（100人中10人）

対立仮説 \( H_1 \) : 学生100人の血液型データは、日本人の血液型分布とはかけ離れている。

※ 血液型分布が、A型が40%、O型は30%、B型が20%、AB型が10%と仮定して、適合度を計算し、仮説検定をします。

(2)

血液型データの分布に着目しているため、適合度検定を実施します。

カテゴリ数は4（A型、O型、B型、AB型）ですね。なので、自由度は 4 - 1 = 3 です。

よって、答えは「自由度3のカイ2乗分布」となります。

(3)

Step1. 適合度 \( \chi^2 \) の計算（2章と同じ計算）

各出目ごとに出た目の回数（観測度数）を使って、残差（観測度数－期待度数）を2乗して、期待度数で割ったものを求めていきます。

出目	A	O	B	AB
観測度数	32	24	26	18
期待度数	40	30	20	10
残差	-8	-6	6	8
残差2	64	36	36	64
残差2÷期待度数	1.6	1.2	1.8	6.4

あとは、各目ごとに求めた残差²÷期待度数をすべて足せば、OKです。\[\begin{align*}
\chi^2 & = \frac{ (32-40)^2 }{40} + \frac{ (24-30)^2 }{30} + \frac{ (26-20)^2 }{20} + \frac{ (18-10)^2 }{10}
\\ & = \frac{ 64 }{40} + \frac{ 36 }{30} + \frac{ 36 }{20} + \frac{ 64 }{10}
\\ & = 1.6 + 1.2 + 1.8 + 6.4
\\ & = 11.0
\end{align*}\]

Step2. カイ2乗表から読み取り

有意水準 \( \alpha = 0.01 \) [1%]、自由度3に相当するカイ2乗値 \( \chi^2_0 \) をカイ2乗分布表から読み取ります。

結果、11.345 と読み取れます。\( \chi^2_0 = 11.345 \) としましょう。

Step3. 採択／棄却の決定

適合度 \( \chi^2 = 11.000 \)、有意水準 \( \alpha = 0.01 \) [1%]、自由度5に相当するカイ2乗値 \( \chi^2_0 = 11.345 \) より、\[
\chi^2 = 11.000 \leqq 11.345 = \chi^2_0
\]となります。

よって、仮説は採択され、ある学生100人の血液型データは、日本人の血液型の分布とかけ離れていない（離れ具合は偶然の範囲内）と言えます。

7. さいごに

これで、サイコロ勝負で相手がイカサマなサイコロを持ってきたときでも、「このサイコロはいかさまだ！」と数学的に示すことが出来ますね。

もしイカサマだと思ったときは、適合度検定をしてみてください。