うさぎでもわかる確率・統計　F分布のいろは②　等分散性の検定

こんにちは、ももやまです。

前回のF分布のいろは①では、「F分布とはどんなものなのか」というところから、「F分布を用いて母分散の比率の区間推定」について勉強しました。

うさぎでもわかる確率・統計　F分布のいろは①　母分散の比の区間推定

2024.8.7

F分布とは何者か、という説明から、F分布を用いて母分散の比の区間推定をする方法まで図、例題、練習問題などで分かりやすく解説しています。...

今回のF分布のいろは②では、「F分布を使って、2つの標本の母分散が等しいかどうか」を仮説検定する等分散性の検定の方法について学習していきましょう。

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1. F分布のおさらい

まずは、F分布について簡単におさらいしておきましょう。

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2. まずは例題で確認！（等分散性検定の流れ）

実際に、等分散性の検定の流れを例題で確認しましょう。

解説．

問題を解く前に、与えられたデータから変数をつぎのようにおきます。

※ 母分散 \( \sigma_1^2 \)、\( \sigma_2^2 \) に対応するように変数の添字1, 2をつけています。

	2024年度 (標本1)	2023年度 (標本2)
履修人数	\( n_1 = 61 \)	\( n_2 = 41 \)
不偏分散	\( s_1^2 = 100 \)	\( s_2^2 = 50 \)
母分散	\( \sigma_1^2 \)	\( \sigma_2^2 \)

(1) 帰無仮説と対立仮説

等分散性の検定では、帰無仮説で2標本の母分散が等しいことを仮定し、対立仮説で帰無仮説の否定、つまり2標本の母分散が等しくないことを検定します。

帰無仮説 \( H_0 \): 仮説検定をするための「仮定」
2024年度の解析学の点数の母分散 \( \sigma_1^2 \) と、2023年度の解析学の点数の母分散 \( \sigma_2^2 \) が等しい。つまり、\( \sigma_1^2 = \sigma_2^2 \)

対立仮説 \( H_1 \): 仮説検定を否定することで示したいもの
2024年度の解析学の点数の母分散 \( \sigma_1^2 \) と、2023年度の解析学の点数の母分散 \( \sigma_2^2 \) が等しくない。つまり、\( \sigma_1^2 \not = \sigma_2^2 \)

(2) 必要な分布と自由度の確認

等分散性の検定では、F分布を使用します。また、その自由度は2つの標本の組み合わせによって決まります。

今回は、2024年度のデータ（標本1）に対する自由度を \( k_1 \)、2023年度のデータ（標本2）を \( k_2 \) としましょう。

	2024年度 (標本1)	2023年度 (標本2)
履修人数	\( n_1 = 61 \)	\( n_2 = 41 \)
自由度	\( k_1 = n_1 - 1 \)	\( k_2 = n_2 - 1 \)
不偏分散	\( s_1^2 = 100 \)	\( s_2^2 = 50 \)
母分散	\( \sigma_1^2 \)	\( \sigma_2^2 \)

すると、自由度の組み合わせは \( (k_1,k_2) \) は \( n_1 = 61 \)、\( n_2 = 41 \) なので、\[\begin{align*}
(k_1,k_2) & = (n_1 - 1, n_2 - 1)
\\ & = (60, 40)
\end{align*}\]となります。

(3) F統計量の計算

今回の検定で使うF統計量を計算していきます。

まず、F値は\[\begin{align*}
F = \frac{ \frac{s_1^2}{\sigma_1^2} }{ \frac{s_2^2}{\sigma_2^2} }
\end{align*}\]で計算できるのでしたね。

ここで、帰無仮説で \( \sigma_1^2 = \sigma_2^2 \) を仮定していましたね。

そのため、F統計量は\[\begin{align*}
F & = \frac{ \frac{s_1^2}{\sigma_1^2} }{ \frac{s_2^2}{\sigma_2^2} }
\\ & = \frac{ \frac{s_1^2}{\sigma_1^2} }{ \frac{s_2^2}{\sigma_1^2} }
\\ & = \frac{ s_1^2 }{ s_2^2 }
\end{align*}\]で計算ができます。

あとは、\( s_1^2 = 100 \)、\( s_2^2 = 50 \) を代入すればF統計量の導出完了です。\[\begin{align*}
F & =\frac{ s_1^2 }{ s_2^2 }
\\ & = \frac{100}{50}
\\ & = 2
\end{align*}\]

(4) F分布表の読み取り：臨界値（採択／棄却の境界値）の確認

つぎに、有意水準5%に対応する \( F \) の値（＝臨界値）を求めていきます。

等分散性の仮説検定では、対立仮説が \( \sigma_1^2 \textcolor{red}{\not =} \sigma_2^2 \) なので、母分散の比率が小さすぎる場合、母分散の比率が大きすぎる場合の両方を考慮する必要があります。

そのため、等分散性の仮説検定は必ず両側検定で実施します。

ここで、\( F_1 \)、\( F_2 \) を次のようにおきましょう。

• \( F_1 \) … 母分散の比率が小さすぎる場合の臨界値（下側2.5%点、上側97.5%点）
  → F統計量が、この値よりも小さい場合は仮説が棄却される
• \( F_2 \) … 母分散の比率が大きすぎる場合の臨界値（上側2.5%点）
  → F統計量が、この値よりも大きい場合は仮説が棄却される

[i] 母分散の比率が大きすぎる場合の臨界値 \( F_2 \)

\( F_2 \) は上側2.5%点なので、上側確率2.5%に相当する、\( \alpha = 0.025 \) の表を使います。

自由度は \( (k_1,k_2) = (60,40) \) に対応するところを表から読むと、1.803と読み取れます。

なので、\( F_2 = 1.803 \) ですね。

[ii] 母分散の比率が小さすぎる場合の臨界値 \( F_1 \)

\( F_1 \) は下側2.5%点（上側97.5%点）ですが、\( \alpha = 0.975 \) の表はありません。

なので、次の手順で上側2.5%点 \( F_1 \) の値を読み取ります。

1. 上側確率 \( \alpha = 0.025 \)、自由度 \( ( \textcolor{blue}{k_2}, \textcolor{red}{k_1}) \) のときのF値を表から読み取る。
2. 読み取った値の逆数（1/F値）を取る。

まず、自由度 \( (k_2,k_1) = (60,40) \)、つまり \( (k_1,k_2) = (40,60) \) に対応するところを表から読むと、1.744と読めます。

この値 (1.744) の逆数が \( F_1 \) となるので、\[\begin{align*}
F_1 = \frac{1}{1.744}
\end{align*}\]となります。（ \( F_1 \) と \( F \) の大小がわかればいいので、1/小数の形のままにします。）

※ 3章で詳しく説明しますが、"[ii] 母分散の比率が小さすぎる場合の臨界値" のステップは省略可能です。

(5) 採択／棄却の判定

あとは、(3)計算したF統計量\[\begin{align*}
F & = \frac{ s_1^2 }{ s_2^2 }
\\ & = 2
\end{align*}\]および、(4)でF分布表から得た臨界値 \( F_1 = \frac{1}{1.744} \)、\( F_2 = 1.803 \) から結論を出します。

【結論の出し方】

• F統計量 \( F \) が2つの臨界値 \( F_1 \), \( F_2 \) におさまっている場合、つまり \( F_1 \leqq F \leqq F_2 \)
  → 仮説は採択：母分散が等しくないとは言えない
• F統計量 \( F \) が2つの臨界値 \( F_1 \), \( F_2 \) におさまっていない場合、つまり \( F < F_1 \) もしくは \( F > F_2 \)
  → 仮説は棄却：母分散が等しくないと言える

今回は、\( F = 2 \) 、\( F_2 = 1.803 \) なので、\[
F = 2 > 1.803 = F_2
\]ですね。よって、仮説は棄却され、2024年度の解析学の点数の母分散 \( \sigma_1^2 \) は、2023年度の解析学の点数の母分散 \( \sigma_2^2 \) は等しくないと結論付けられます。

補足．等分散性の仮説検定の結果と母比率の信頼区間の関係

等分散性の検定では、2標本の母分散 \( \sigma_1^2 \), \( \sigma_2^2 \) が等しい（\( \sigma_1^2 = \sigma_2^2 \)）という仮定をしてから、\( \sigma_1^2 = \sigma_2^2 \) となる確率が有意水準よりも小さい（棄却）か小さくない（採択）かを判定しています。

ここで、\( \sigma_1^2 = \sigma_2^2 \) というのは、母分散の比 \( \frac{ \sigma_1^2 }{ \sigma_2^2 } \)が\[
\frac{ \sigma_1^2 }{ \sigma_2^2 } = 1
\]と言い換えられますね。

そのため、等分散性の仮説検定の結果と母比率の信頼区間には、以下のような関係があると言えます。

• 有意水準 \( a \) %にて仮説が採択された
  → 信頼度 \( 100 - a \) %での母分散の比の信頼区間に 1 が含まれる
• 有意水準 \( a \) にて仮説が棄却された
  → 信頼度 \( 100 - a \) %での母分散の比の信頼区間に 1 が含まれない

※ 実際に、今回の例題で使用した等分散性の検定の問題でも、上の関係は成り立っています。

• 結論 → 棄却
• 母分散の比率の信頼区間：1.11～3.49（信頼区間に1が含まれない）

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3. 等分散検定の省略テクニック紹介

ここで、等分散性の計算を少し早くするテクニックを紹介しましょう。

	標本1	標本2
標本サイズ	\( n_1 \)	\( n_2 \)
自由度	\( k_1 = n_1- 1 \)	\( k_2 = n_2- 1 \)
不偏分散	\( s_1^2 = 100 \)	\( s_2^2 = 50 \)
母分散	\( \sigma_1^2 \)	\( \sigma_2^2 \)

ポイントは、2つの標本のデータのうち、より不偏分散が大きい方を \( s_1^2 \) となるように標本を決めることです。

\( s_1^2 \geqq s_2^2 \) になるように標本1, 標本2を設定することで、\[
F = \frac{ s_1^2 }{ s_2^2 } \geqq 1
\]となります。

ここで下側確率（例: 2.5%、5%、10%、20%など）に対する臨界値 \( F_1 \) は、必ず \( F < 1 \) となる法則があります^[1]F分布表に上側確率が書いていると思いますが、全部 \( F>1 \) … Continue reading。

そのため、\( F_1 \) の値を求めなくても、\( F_1 < F \) の関係が成り立ちます。

よって、仮説検定の結果（採択／棄却）を判定する際には、\( F \) と上側の臨界点 \( F_2 \) だけを確認すればOKとなります。

• \( F \leqq F_2 \) のとき
  → 仮説は採択：母分散が等しくないとは言えない
• \( F > F_2 \) のとき
  → 仮説は棄却：母分散が等しくないといえる

4. 等分散性の検定手順まとめ

5. 練習問題で確認

最後に、今回習った内容が理解できているかを練習問題で確認しましょう。

小問はつけていません。

6. 練習問題の答え

問題を解く前に、与えられたデータから変数をつぎのようにおきます。

※ \( s_1^2 \geqq s_2^2 \) となるように標本1、標本2を設定しています。

	旧型 (標本1)	新型 (標本2)
サンプル数	\( n_1 = 16 \)	\( n_2 = 21 \)
自由度	\( k_1 = n_1 - 1 \)	\( k_2 = n_2 - 1 \)
不偏分散 [g2]	\( s_1^2 = 50 \)	\( s_2^2 = 20 \)
母分散 [g2]	\( \sigma_1^2 \)	\( \sigma_2^2 \)

Step1. 帰無仮説、対立仮説を立てる

帰無仮説 \( H_0 \): 仮説検定をするための「仮定」
旧型の機械で盛り付けられるご飯の重さの母分散 \( \sigma_1^2 \) と、新型の機械で盛り付けられるご飯の重さの母分散 \( \sigma_2^2 \) が等しい。つまり、\( \sigma_1^2 = \sigma_2^2 \)

対立仮説 \( H_1 \): 仮説検定を否定することで示したいもの
旧型の機械で盛り付けられるご飯の重さの母分散 \( \sigma_1^2 \) と、新型の機械で盛り付けられるご飯の重さの母分散 \( \sigma_2^2 \) が等しくない。つまり、\( \sigma_1^2 \not = \sigma_2^2 \)

Step2. 使用する分布、自由度の確認

使用する分布: F分布

自由度: \[\begin{align*}
(k_1, k_2) & = (n_1 - 1, n_2-1)
\\ & = (15,20)
\end{align*}\]

Step3. F統計量の計算

帰無仮説にて、\( \sigma_1^2 = \sigma_2^2 \) としているため、F統計量は以下のように計算できる。\[\begin{align*}
F & = \frac{ \frac{s_1^2}{\sigma_1^2} }{ \frac{s_2^2}{\sigma_2^2} }\\ & = \frac{ \frac{s_1^2}{\sigma_1^2} }{ \frac{s_2^2}{\sigma_1^2} }
\\ & = \frac{ s_1^2 }{ s_2^2 }
\\ & = \frac{50}{20}
\\ & = 2.5
\end{align*}\]

Step4. F分布表の読み取り：臨界値（採択／棄却の境界値）の確認

有意水準5%に対応する \( F \) の値（＝臨界値）を求めていきます。

等分散性の仮説検定では、母分散の比率が小さすぎる場合、母分散の比率が大きすぎる場合の両方を考慮する必要があります。よって、両側検定を行います。

まず、\( F_1 \)、\( F_2 \) を次のようにおきましょう。

• \( F_1 \) … 母分散の比率が小さすぎる場合の臨界値（上側97.5%点、下側2.5%点）
  → F統計量が、この値よりも小さい場合は仮説が棄却される
• \( F_2 \) … 母分散の比率が大きすぎる場合の臨界値（上側2.5%点）
  → F統計量が、この値よりも大きい場合は仮説が棄却される

ここで、事前に \( s_1^2 \geqq s_2^2 \) を仮定しているので、下側確率の臨界点 \( F_1 \) の導出は省略できます^[3]どうしても求めたい場合は、\( \alpha = 0.025 \)、自由度は \( (k_1,k_2) = (20,15) \) のF値 2.756 を求めて、\[
F_1 = \frac{1}{2.756} < 1
\]としましょう。。（必ず \( F_1 < F \) となる。）

なので、\( F_2 \) をF分布から求めていきましょう。

[i] 母分散の比率が大きすぎる場合の臨界値 \( F_2 \)

\( F_2 \) は上側2.5%点なので、上側確率2.5%に相当する、\( \alpha = 0.025 \) の表を使います。

自由度は \( (k_1,k_2) = (15,20) \) に対応するところを表から読むと、2.573と読み取れます。

なので、\( F_2 = 2.573 \) ですね。

Step5. F分布表の読み取り：臨界値（採択／棄却の境界値）の確認

あとは、\( F \) と \( F_2 \) の大小関係を確認するだけでOK。（\( F \geqq 1 \) なので、\( F_1 < F \) は明らか）

• \( F \leqq F_2 \) のとき
  → 仮説は採択：母分散が等しくないとはいえない
• \( F > F_2 \) のとき
  → 仮説は棄却：母分散が等しくないといえる

今回は、\( F = 2.500 \)、\( F_2 = 2.573 \) なので、\( F \leqq F_2 \) ですね。

よって仮説は採択され、「旧型の機械で盛り付けられるご飯の重さの母分散 \( \sigma_1^2 \) と、新型の機械で盛り付けられるご飯の重さの母分散 \( \sigma_2^2 \) が等しくないとは言えない」と結論付けられます。