うさぎでもわかるラスパイレス指数・パーシェ指数・フィッシャー指数

こんにちは、ももやまです。

今回は、物価の変動度合いを表す3つの指数

• ラスパイレス指数
• パーシェ指数
• フィッシャー指数

がどのようなものなのか、またどのように計算できるかを、実際に見ていきましょう。

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1. ラスパイレス指数

ラスパイレス指数は、基準時点（基準年、基準月など）の数量をベースとして、基準地点に対する比較時点（比較年、比較月など）の物価の変化度合いを、比率（基準値: 100）で表したものです。

具体的には、ラスパイレス指数 \( P_L \) は次のように定義されます。

実際のラスパイレス指数の計算例を、例題で確認しましょう。

解説1

ラスパイレス指数の公式に、与えられたデータの値を与えて計算しましょう。

	価格 (ハンバーガー)	数量 (ハンバーガー)	価格 (チーズバーガー)	数量 (チーズバーガー)
基準年 (2023年)	200	100	250	80
比較年 (2024年)	180	50	200	120

実際に計算すると、ラスパイレス指数 \( P_L \) は次のように計算できます。

\[\begin{align*}
P_L & = \frac{ \textcolor{orange}{180} \times \textcolor{deepskyblue}{100} + \textcolor{orange}{200} \times \textcolor{deepskyblue}{80} }{ \textcolor{green}{200} \times \textcolor{deepskyblue}{100} + \textcolor{green}{250} \times \textcolor{deepskyblue}{80} } \times 100
\\ & = \frac{ 18000 + 16000 }{ 20000 + 20000 } \times 100
\\ & = \frac{ 34000 }{ 40000 } \times 100
\\ & = 0.85 \times 100
\\ & = 85
\end{align*}\]

よって、ラスパイレス指数は 85.0 と求められます。

ラスパイレス指数の注意点．

ラスパイレス指数は、基準時点と比較時点の数量のうち、基準時点の数量のみを計算に使用します。そのため、比較時点の数量はラスパイレス指数に一切影響しません。

このため、消費者が価格上昇に対して購入量を減らすという現実の行動を反映せず、価格上昇を過大評価する傾向がある点に注意が必要です^[1] … Continue reading。

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2. パーシェ指数

パーシェ指数は、比較時点の数量をベースとして、基準地点に対する比較時点の物価の変動具合を比率（基準値: 100）で表したものです。

具体的には、パーシェ指数 \( P_P \) は次のように定義されます。

パーシェ指数の計算例を、先ほどと同じように例題で確認しましょう。

解説2

パーシェ指数の公式に、与えられたデータの値を与えて計算しましょう。

	価格 (ハンバーガー)	数量 (ハンバーガー)	価格 (チーズバーガー)	数量 (チーズバーガー)
基準年 (2023年)	200	100	250	80
比較年 (2024年)	180	50	200	120

\[\begin{align*}
P_P & = \frac{ \textcolor{orange}{180} \times \textcolor{magenta}{50} + \textcolor{orange}{200} \times \textcolor{magenta}{120} }{ \textcolor{green}{200} \times \textcolor{magenta}{50} + \textcolor{green}{250} \times \textcolor{magenta}{120} } \times 100
\\ & = \frac{ 9000 + 24000 }{ 10000 + 30000 } \times 100
\\ & = \frac{ 33000 }{ 40000 } \times 100
\\ & = 0.825 \times 100
\\ & = 82.5
\end{align*}\]

よって、パーシェ指数は 82.5 と求められます。

パーシェ指数の注意点．

パーシェ指数は、基準時点と比較時点の数量のうち、比較時点の数量のみを計算に使用します。そのため、基準時点の数量はパーシェ指数に一切影響しません。

消費者は価格が上昇すると、その商品を購入する量を減らすことが多いです。パーシェ指数では、価格上昇が数量の減少によって和らげられるため、物価の変動度合いが過小に評価される点に注意が必要です^[2] … Continue reading。

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3. フィッシャー指数

ラスパイレス指数、パーシェ指数は、ともに物価の変動度合いを表す指数です。しかし、ラスパイレス指数では実際よりも物価の変動度合いを過大に評価してしまう傾向が、パーシェ指数では実際よりも物価の変動度合いを過小に評価してしまう傾向があります。

そこで、ラスパイレス指数とパーシェ指数の幾何平均（相乗平均）を取った新たな指標が生まれました^[3]ラスパイレス指数 \( P_L \) 、パーシェ指数 \( P_P \) … Continue reading。この指標を、フィッシャー指数と呼びます。

フィッシャー指数を使うことで、ラスパイレス指数とパーシェ指数の偏りを中和させ、パーシェより中立的でバランスの取れた方法で物価の変動度合いを確認することができます。

フィッシャー指数の計算例を、先ほどと同じように例題で確認しましょう。

解説3.

フィッシャー指数の公式に、

• ラスパイレス指数 \( P_L = 85.0 \)
• パーシェ指数 \( P_P = 82.5 \)

を代入して計算しましょう。

\[\begin{align*}
P_F & = \sqrt{ P_L \times P_P }
\\ & = \sqrt{ 85.0 \times 82.5 }
\\ & = \sqrt{ 7012.5 }
\\ & \fallingdotseq 83.7
\end{align*}\]

よって、フィッシャー指数は \( \sqrt{ 7012.5 } \) と求められます。

4. 練習問題にチャレンジ

最後に、実際に練習問題に挑戦してみましょう！

5. 練習問題の答え

以下のデータから、(1) ラスパイレス指数、(2) パーシェ指数、(3) フィッシャー指数を計算していきます。

	券A 価格	券A 数量	券B 価格	券B 数量	券B 価格	券C 数量
基準日	600	200	500	400	800	100
比較日	800	150	700	200	900	200

(1) ラスパイレス指数 \( P_L \)

★ 公式

★ 計算過程

\[\begin{align*}
P_L & = \frac{ \textcolor{orange}{800} \times \textcolor{deepskyblue}{200} + \textcolor{orange}{700} \times \textcolor{deepskyblue}{400} + \textcolor{orange}{900} \times \textcolor{deepskyblue}{100} }{ \textcolor{green}{600} \times \textcolor{deepskyblue}{200} + \textcolor{green}{500} \times \textcolor{deepskyblue}{400} + \textcolor{green}{800} \times \textcolor{deepskyblue}{100} } \times 100
\\ & = \frac{ 160000 + 280000 + 90000 }{ 120000 + 200000 + 80000 } \times 100
\\ & = \frac{ 530000 }{ 400000 } \times 100
\\ & = 1.325 \times 100
\\ & = 132.5
\end{align*}\]より、ラスパイレス指数は 132.5。

(2) パーシェ指数 \( P_P \)

★ 公式

★ 計算過程

\[\begin{align*}
P_L & = \frac{ \textcolor{orange}{800} \times \textcolor{magenta}{100} + \textcolor{orange}{700} \times \textcolor{magenta}{200} + \textcolor{orange}{900} \times \textcolor{magenta}{200} }{ \textcolor{green}{600} \times \textcolor{magenta}{100} + \textcolor{green}{500} \times \textcolor{magenta}{200} + \textcolor{green}{800} \times \textcolor{magenta}{200} } \times 100
\\ & = \frac{ 80000 + 140000 + 180000 }{ 90000 + 100000 + 160000 } \times 100
\\ & = \frac{ 400000 }{ 320000 } \times 100
\\ & = 1.25 \times 100
\\ & = 125
\end{align*}\]より、パーシェ指数は 125.0。

(3) フィッシャー指数 \( P_F \)

\[\begin{align*}
P_F & = \sqrt{ P_L \times P_P }
\\ & = \sqrt{ 132.5 \times 125.0 }
\\ & = \sqrt{ 16562.5 }
\\ & \fallingdotseq 128.7
\end{align*}\]より、フィッシャー指数は 128.7。

6. まとめ

ラスパイレス指数、パーシェ指数の計算方法は、以下の通りです。

フィッシャー指数の計算方法は、以下の通りです。\[
\mathrm{ フィッシャー指数 } \ = \ \sqrt{ \mathrm{ ラスパイレス指数 \ \times \ パーシェ指数 } }
\]