うさぎでもわかる確率・統計　t分布のいろは④　対応のない2標本の母平均検定

こんにちは、ももやまです。

前回は「対応のある2標本」の母平均を、t分布を使って求めていく方法について説明していきましたね。

うさぎでもわかる確率・統計　t分布のいろは③　対応のある2標本の母平均検定

2024.5.19

2つの標本の対応があるときの、母平均の求め方について例題や練習問題とともにまとめて解説しています。...

今回は、「対応のない2標本の母平均検定」を、t分布を使って求めていく方法について説明していきます。

※ 対応のない2標本というのは、「1組の点数の標本」と「2組の点数の標本」のように、対象の異なる標本だと思っていただけたらOKです。

※ t分布を用いた仮説検定のことを「t検定」と記載している箇所があります。

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１．t分布のおさらい

まずは、t分布を用いて母平均を推定する方法について、仮説検定をしていきましょう。

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2. 例題で確認！

では実際に、例題を1問使って実際に「対応のない2標本の母平均検定」の流れを見ていきましょう。

※ 対応のない2標本の計算の流れを分かりやすくするために、例題の小問を多めに設定しています。

例題．

対応のない2標本を解くための方針．

対応のない2標本の仮説検定では、異なる2つの標本から値を取得しています。

そのため、対応のある2標本で出来た「2つの標本データの対応するデータごとに差分を取り、それを新たな1つの標本する」ということが出来ません。

そこで、対応のない2標本の仮説検定では「2つの標本から得られた情報の差^[3]標本平均、不偏分散など。をとって、それを新たな1つの標本にする」ということをしていきます。

(1) 帰無仮説、対立仮説の設定

まずは帰無仮説と対立仮説を立てましょう。（この過程は対応のある2標本の検定と同じです。）

帰無仮説 \( H_0 \) : 仮説検定をするにあたって、立てる仮定
→ 1組の平均点と2組の平均点に差はない。
→ 1組のテスト結果の母平均 \( \mu_1 \) と2組のテスト結果の母平均 \( \mu_2 \) に差はない。
→ \( \mu_1 = \mu_2 \)、つまり \( \mu_1 - \mu_2 = 0 \)
※ 平均点が等しい → 平均点の差が0、と持っていく。

対立仮説 \( H_1 \) : 帰無仮説を否定して証明したいもの。
→ 1組の平均点と2組の平均点に差がある。
→ 1組のテスト結果の母平均 \( \mu_1 \) と2組のテスト結果の母平均 \( \mu_2 \) に差がある。
→ \( \mu_1 \not = \mu_2 \)、つまり \( \mu_1 - \mu_2 \not = 0 \)
※ \( X_1 \) と \( X_2 \) の平均点に差がある → 平均点が等しくない → 平均点の差が0、と持っていく。

(2) ブールされた分散 \( s_p \) の計算

「対応のない2つの標本を1つの標本にまとめる」際には、新たな標本に対する

• 標本の不偏分散 \( s_p^2 \)
  （ブールされた分散と呼ばれます）
• 標本に対する自由度 \( k_p \)

を求める必要があります。

まず、(2) ではまとめた標本の不偏分散（ブールされた分散） \( s_p^2 \) がどのように計算されるかを確認しましょう。

具体的には、2つの標本の不偏分散 \( s_1^2 \), \( s_2^2 \) を1つにまとめて平均を取ったもの、新たな標本の分散 \( s_p^2 \) とみなします。

しかし、単に2つの不偏分散 \( s_1^2 \), \( s_2^2 \) の平均を取るのではなく、それぞれの自由度 \( k_1 \), \( k_2 \) で重みづけした加重平均をブールされた分散 \( s_p^2 \) とする点に注意が必要です。

具体的には、ブールされた分散 \( s_p^2 \) は、自由度 \( k_1 = n_1 - 1 \)、\( k_2 = n_2 - 1 \) を使って\[\begin{align*}
s_p^2 & = \frac{k_1 s_1^2 + k_2 s_2^2}{k_1 + k_2}
\\ & = \frac{ (n_1 - 1) s_1^2 + (n_2 - 1) s_2^2}{ (n_1 - 1) + (n_2 - 1) }
\\ & = \frac{ (n_1 - 1) s_1^2 + (n_2 - 1) s_2^2}{ n_1 + n_2 - 2}
\end{align*}\]と計算します。

今回は、\( n_1 = 11 \), \( s_1^2 = 19 \), \( n_2 = 6 \), \( s_2^2 = 10 \) なので、ブールされた分散は\[\begin{align*}
s_p^2 & = \frac{ (n_1 - 1) s_1^2 + (n_2 - 1) s_2^2}{ n_1 + n_2 - 2}
\\ & = \frac{10 \cdot 19 + 5 \cdot 10}{11 + 6 - 2}
\\ & = \frac{240}{15}
\\ & = 16
\end{align*}\]となり、ブールされた分散は \( s_p^2 = 16 \) と求まります。

※ 2乗を取って \( s_p \) としたものをブールされた標準偏差と呼ぶことにしましょうか。今回の場合は、ブールされた標準偏差は \( s_p = 4 \) です。

(3) 自由度の計算

つぎは、「対応のない2つの標本を、1つの標本にまとめたとき」のまとめた標本に対する自由度 \( k_p \) を求めていきましょう。

まず、統計の世界では、"自由度 ＝ 標本が持つ情報量" でした。

ここで、対応のない2標本での仮説検定では、「2つの標本を1つにまとめる」ということをしています。

そのため、1つにまとめられた標本が持つ情報量は、2つの標本の情報量の和となります。

よって、区間推定を行うために必要な自由度 \( k_p \) は、\[\begin{align*}
k_p & = k_1 + k_2
\\ & = (n_1 - 1) + (n_2 - 1)
\\ & = n_1 + n_2 - 2
\end{align*}\]となります。

今回は、\( n_1 = 11 \), \( n_2 = 6 \) なので、自由度は\[\begin{align*}
k_p & = n_1 + n_2 - 2
\\ & = 11 + 6 - 2
\\ & = 15
\end{align*}\]となります。

(4) t分布表から、(3)で求めた自由度と有意水準に対応する値の読み取り

自由度15、有意水準1%に対応する \( t = t_0 \) の値を求めていきます。

今回の対立仮説は、「母平均が0ではない」なので、母平均が大きい場合と小さい場合の両方を考える必要があります。つまり、両側検定となります。

★ 両側t分布表の場合

自由度15、灰色部分の面積の和 \( \alpha \) が 0.01 の場合をt分布表から読み取ればOKです。

結果、2.947と読めます。読み取った値を \( t_0 = 2.947 \) としておきましょう。

★ 片側t分布表の場合

片側t分布表に記載されている確率 \( \alpha \) は、青色部分の面積だけで、紫色部分の面積は入っていません。

青色部分の面積と紫色部分の面積は同じなので、\( \alpha \) を読み取る際には、1%を半分にした \( \alpha = 0.005 \) を読み取る必要がある点に注意です。

そのため、自由度15、片側確率 \( \alpha = 0.005 \) の部分の \( t \) の値を読み取ればOKです。

結果、2.947と読めます。読み取った値を \( t_0 = 2.947 \) としておきましょう。

(5) t変換の実施

与えられた2つの標本の各標本平均、標本サイズ、および(2)で求めたブールされた分散をt変換式に代入します。

• ブールされた分散 \( s_p^2 = 16 \)（ブールされた不偏標準偏差 \(s_p = 4 \)）
• 自由度 \( k_p = 15 \)

組	標本サイズ (生徒数)	標本平均 (平均点)
1組	\( n_1 = 11 \)	\( X_1 = 69 \)
2組	\( n_2 = 6 \)	\( X_2= 75 \)

実際に代入すると、\[\begin{align*}
t & = \frac{ \overline{X}_1 - \overline{X}_2 }{ s_p \sqrt{ \frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2} } }
\\ & = \frac{69 - 75}{ 4 \sqrt{ \frac{1}{11} + \frac{1}{6} } }
\\ & = \frac{-6}{4 \sqrt{ \frac{6}{66} + \frac{11}{66} } }
\\ & = \frac{-3}{2 \sqrt{ \frac{17}{66} } }
\\& = - \frac{3 \sqrt{66} }{2 \sqrt{17} }
\\ & = - \frac{3 \sqrt{66} \cdot \sqrt{17} }{2 \cdot 17}
\\ & = - \frac{3 \sqrt{1122} }{34}
\\ & \fallingdotseq - \frac{3 \cdot 33.50 }{34}
\\ & \fallingdotseq - 2.956
\end{align*}\]と計算できます。

※ t変換式の導出の仕組みは、3章にて説明しています。

(6) 仮説検定の結果判定

最後に、

• t分布表から読み取った値 \( t_0 = 2.947 \)
• t分布の変換式から計算して求めた \( t = -2.956 \)

の2つを比べて、採択／棄却を決めます。

【確認方法】

• \( - t_0 \leqq t \leqq t_0 \) となれば仮説は採択（仮定は誤りとはいえない）
• \( - t_0 > t \) もしくは \( t_0 < t \) となれば、仮定は棄却（仮定が誤りといえる）

今回は、\( t = -2.956 < -2.947 = - t_0 \) となるため、仮説は棄却されます。

つまり、1組、2組の平均点に差があることが言えます。（＝1組と2組の学力差がある。）

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3. 対応のない2標本の母平均検定で使うt変換式導出

1標本での、t分布のt変換式\[
t = \frac{ \textcolor{deepskyblue}{ \overline{X} - \mu } }{\textcolor{magenta}{\frac{ s }{ \sqrt{n} } } }
\]から、対応のない2検定で使うt分布のt変換式\[
\frac{ \textcolor{deepskyblue}{ \overline{X}_1 - \overline{X}_2 } }{ \textcolor{magenta}{ s_p \sqrt{ \frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2} } } }
\]の導出の仕方をここで確認しましょう。

※ 厳密な証明ではないのでご注意ください。

復習．1標本のとき

t分布の変換式の変化 (分子部分)

元々のt分布の変化式の分子部分は、標本平均 \( \overline{X} \) から、母平均 \( \mu \) を引いていますね。

t分布の変換式の変化 (分母部分)

まず、元々のt分布の変化式の分母部分\[
\frac{ s }{ \sqrt{n} }
\]がどのように導出されたか復習しましょう。

Step1. 母平均 \( \mu \)、母分散 \( \sigma^2 \) の母集団から大きさ \( n \) の標本を選び、その標本平均を \( \overline{X} \) とした際の分散は、\[
V ( \overline{X} ) = \frac{ \sigma^2 }{ n }
\]となります。

Step2. 母分散 \( \sigma^2 \) を下の式のように、標本分散 \( s^2 \) に置きかえます。\[
\frac{ s^2 }{ n }
\]

Step3. この式の平方根を取ったものが、t部分の分母部分でしたね。\[
\frac{ s }{ \sqrt{n} }
\]

1標本のとき → 対応のない2標本へ拡張

1標本のときの復習ができたので、対応のない2標本へ拡張していきましょう。

【ポイント】

• 2つの標本から得られた情報の差をとったものを、新たな標本とする
• 作成した新たな標本に対して、t検定をする
  → t検定で使う新たな標本に対するt変換式を導出する

t分布のt変換式の変化 (分子部分)

「2つの標本から得られた情報の差をとって、それを新たな1つの標本にする」場合、1つにまとめた標本の標本平均 \( \overline{X}_p \)、母平均 \( \mu_p \) は、標本平均、母平均は2つの標本の差となります^[4] \( E(X \pm Y) = E(X) \pm E(Y) \) を使用。[複号同順です。]。\[
\overline{X}_p = \overline{X_1} - \overline{X_2}
\]\[
\mu_p = \mu_1 - \mu_2
\]さらに、帰無仮説で、\( \mu_1 - \mu_2 = 0 \) を仮定しているため、t分布の変換式の分子は、\[\begin{align*}
\overline{X}_p - \mu_p & = ( \overline{X_1} - \overline{X_2}) - (\mu_1 - \mu_2)
\\ & = \textcolor{deepskyblue}{ \overline{X_1} - \overline{X_2}}
\end{align*}\]となります。

t分布のt変換式の変化 (分母部分)

• 標本1の情報: サイズ \( n_1 \)、母分散 \( \sigma_1^2 \)、標本分散 \( s_1^2 \)
• 標本2の情報: サイズ \( n_2 \)、母分散 \( \sigma_2^2 \)、標本分散 \( s_2^2 \)

Step1. 新たな標本の分散は、元の分散の和となります^[5]2つの標本は対応がない（＝独立）ため、2つの標本を引くと、分散は2つの標本の和となります。\[V( \overline{X}_1 + \overline{X}_2 ) = V( \overline{X}_1 ) + V … Continue reading。つまり、新たな標本の標本平均を \( \overline{X} \) とした際の分散は、\[
\frac{\sigma_1^2}{n_1} + \frac{\sigma_2^2}{n_2}
\]となります。

Step2. 標本1について母分散 \( \sigma_1^2 \) を標本分散 \( s_1^2 \)に、標本2について母分散 \( \sigma_2^2 \) を標本分散 \( s_2^2 \)におきかえます。\[
\frac{s_1^2}{n_1} + \frac{s_2^2}{n_2}
\]

Step3. さらに、標本分散 \( s_1^2 \)、標本分散 \( s_2^2 \) を、先ほど求めたブールされた分散 \( s_p^2 \) におきかえます。\[
\frac{s_p^2}{n_1} + \frac{s_p^2}{n_2}
\]

Step4. あとは、この式の平方根を取ることで、\[\begin{align*}
\sqrt{ \frac{s_p^2}{n_1} + \frac{s_p^2}{n_2} } & = \sqrt{ s_p^2 \left( \frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2} \right) }
\\ & =
\textcolor{magenta}{ s_p \sqrt{ \frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2} } }
\end{align*}\]と導出できます。

4. 練習問題にチャレンジ

5. 練習問題の答え

Step1. 帰無仮説と対立仮説を立てる

帰無仮説 \( H_0 \) : 仮説検定をするにあたって、立てる仮定
→ 「ラインAで作られた製品の重量」と「ラインBで作られた製品の重量」に差はない。
→ ラインAで作られた製品の重量の母平均 \( \mu_1 \) とラインBで作られた製品の重量の母平均 \( \mu_2 \) に差はない。
→ \( \mu_1 = \mu_2 \)、つまり \( \mu_1 - \mu_2 = 0 \)
※ 製品の重量が等しい → 製品の重量の差が0、と持っていく。

対立仮説 \( H_1 \) :  帰無仮説を否定して証明したいもの。
→ 「ラインAで作られた製品の重量」と「ラインBで作られた製品の重量」に差がある。
→ ラインAで作られた製品の重量の母平均 \( \mu_1 \) とラインBで作られた製品の重量の母平均 \( \mu_2 \) に差がある。
→ \( \mu_1 \not = \mu_2 \)、つまり \( \mu_1 - \mu_2 \not = 0 \)
※ 製品の重量が等しくない → 製品の重量の差が0ではない、と持っていく。

Step2. ブールされた分散 \( s_p^2 \) を求める

ライン	生産数 [個]	不偏分散 [g2]
A	\( n_1 = 11 \)	\( s_1^2 = 7 \)
B	\( n_2 = 16 \)	\( s_2^2 = 12 \)

\[\begin{align*}
s_p^2 & = \frac{ (n_1 - 1) s_1^2 + (n_2 - 1) s_2^2}{ (n_1 - 1) + (n_2 - 1) }
\\ & = \frac{ 10 \cdot 7 + 15 \cdot 12 }{11 + 16 - 2}
\\ & = \frac{ 70 + 180 }{25}
\\ & = \frac{ 250 }{25}
\\ & = 10
\end{align*}\]

※ ブールされた標準偏差: \( s_p = \sqrt{10} \)

Step3. 1つにまとめた標本の自由度 \( k_p \) を求める

\[\begin{align*}
k_p & = n_1 + n_2 - 2
\\ & = 16 + 11 - 2
\\ & = 25
\end{align*}\]

Step4. 表の読み取り

自由度25、有意水準1%に対応する \( t = t_0 \) の値を求めていきます。

今回の対立仮説も、例題と同じように「母平均が0ではない」なので、母平均が大きい場合と小さい場合の両方を考える必要があります。つまり、両側検定となります。

★ 両側t分布表の場合

自由度15、灰色部分の面積の和 \( \alpha \) が 0.01 の場合をt分布表から読み取ればOKです。

結果、2.787と読めます。読み取った値を \( t_0 = 2.787 \) としておきましょう。

★ 片側t分布表の場合

片側t分布表に記載されている確率 \( \alpha \) は、青色部分の面積だけで、紫色部分の面積は入っていません。

青色部分の面積と紫色部分の面積は同じなので、\( \alpha \) を読み取る際には、1%を半分にした \( \alpha = 0.005 \) を読み取る必要がある点に注意です。

そのため、片側分布表の場合は自由度25、片側確率 \( \alpha = 0.005 \) の部分の \( t \) の値を読み取ればOKです。

結果、2.787と読めます。読み取った値を \( t_0 = 2.787 \) としておきましょう。

Step5. t変換式の計算

以下の標本の情報、およびブールされた分散 \( s_p^2 = 10 \)（ブールされた標準偏差 \( s_p = \sqrt{10} \) をt変換式に代入し、t変換しましょう。

ライン	生産数 [個]	(標本)平均 [g]
A	\( n_1 = 11 \)	\( s_1^2 = 7 \)
B	\( n_2 = 16 \)	\( s_2^2 = 12 \)

計算過程は、以下の通り。（ルートの処理が少し複雑です。）

\[\begin{align*}
t & = \frac{ \overline{X}_1 - \overline{X}_2 }{ s_p \sqrt{ \frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2} } }
\\ & = \frac{ 104 - 101 }{ \sqrt{10} \sqrt{ \frac{1}{11} + \frac{1}{16} } }
\\ & = \frac{ 3 }{ \sqrt{10} \sqrt{ \frac{16}{176} + \frac{11}{176} } }
\\ & = \frac{ 3 }{ \sqrt{10} \sqrt{ \frac{27}{176} } }
\\ & = \frac{ 3 }{ \sqrt{10} \cdot \frac{ 3 \sqrt{3} }{4 \sqrt{11} } }
\\ & = \frac{ 3 }{ \frac{ 3 \sqrt{30} }{4 \sqrt{11} } }
\\ & = \frac{ 12 \sqrt{11} }{ 3 \sqrt{30} }
\\ & = \frac{ 4 \sqrt{11} }{ \sqrt{30} }
\\ & = \frac{ 4 \sqrt{11} \cdot \sqrt{30} }{ \sqrt{30} \cdot \sqrt{30} }
\\ & = \frac{ 4 \sqrt{330} }{ 30 }
\\ & = \frac{ 2 \sqrt{330} }{ 15 }
\\ & \fallingdotseq \frac{ 2 \cdot 18.17 }{ 15 }
\\ & = \frac{ 36.34 }{ 15 }
\\ & \fallingdotseq 2.422
\end{align*}\]

Step6. 仮説検定の結果判定

あとは、

• t分布表から読み取った値 \( t_0 = 2.787 \)
• t分布の変換式から計算して求めた \( t = 2.422 \)

の2つを比べて、採択／棄却を確認すればOKです。

【確認方法】

• \( - t_0 \leqq t \leqq t_0 \) となれば仮説は採択（仮定は誤りとはいえない）
• \( - t_0 > t \) もしくは \( t_0 < t \) となれば、仮定は棄却（仮定が誤りといえる）

今回は、\( - 2.787 \leqq 2.422 \leqq 2.787 \) となるため、仮説は採択されます。（＝ラインAとラインBで作られた製品の重量に差があるとは言えません。）