うさぎでもわかる解析　Part20　2変数関数の極値

こんにちは、ももやまです。
今回から3回にわけて2変数関数の極値についてまとめていきたいと思います。

今回は特に条件もなにもない一番シンプルな場合の極値についてです。

前回の記事（Part19）はこちら！

（2変数のマクローリン展開についてです）

www.momoyama-usagi.com

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１．2変数関数の極値

では、今回は1問例題を解きながら2変数関数を解く流れを説明していきましょう。

例題

次の2変数関数\[
f(x,y) = x^3 + y^3 - 3xy
\]の極値とそのときの点 \( (x,y) \) を求めなさい。

Step1：極値となりうる点を調べる（停留点）

まず、極値となりそうな点を調べていきます。

極値となりうる点の条件としては、\[
f_x = f_y = 0
\]を満たすような点、つまり\[
f_x = 3x^2 - 3y = 0 \\
f_y = 3y^2 - 3x = 0
\]をともに満たすような点 \( (x,y) \) となる。

\( y = x^2 \) の関係式が成り立つので、\[\begin{align*}
3y^2 - 3x & = 3x^4 - 3x
\\ & = 3x(x^3-1) \\ & = 3x(x-1)(x^2+x+1) = 0
\end{align*}\]を満たすような \( x \) を考えればよい。

ここで、\( x^2 + x + 1 \) は実数解は存在しない*1。ので、\( x = 0,1 \) のときが停留点の \( x \) の座標となる。

あとは \( y = x^2 \) を考えると停留点は\[
(x,y) = (0,0), \ (1,1)
\]の2つとなる。

Step2：実際に極値となるかを調べる。

つぎに、停留点（極値となりうる点）が本当に極値となるかを下の方法で調べていきます。

まずは、\( f(x,y) \) を2次偏導関数まで求めます。\[
f_{xx} = 6x , \ \ \
f_{xy} = f_{yx} = -3 , \ \  \
f_{yy} = 6y
\]つぎに、停留点 \( (0,0) \), \( (1,1) \) それぞれのヘッシアン \( H \) を求めます。

(i) 停留点 (0,0) のとき

\[\begin{align*}
H = & \left| \begin{array}{ccc} f_{xx}(0,0) & f_{xy}(0,0) \\ f_{yx}(0,0) & f_{yy}(0,0) \end{array} \right|
\\ = & \left| \begin{array}{ccc} 0 & -3 \\ -3 & 0 \end{array} \right| \\ = & -9 < 0
\end{align*} \]なので点 (0,0) は極値とはならない。

(ii) 停留点 (1,1) のとき

\[\begin{align*}
H = & \left| \begin{array}{ccc} f_{xx}(1,1) & f_{xy}(1,1) \\ f_{yx}(1,1) & f_{yy}(1,1) \end{array} \right|
\\ = & \left| \begin{array}{ccc} 6 & -3 \\ -3 & 6 \end{array} \right| \\ = & 36 -9 = 27 > 0
\end{align*} \]なので点 (0,0) は極値となる。

次に極値となる点が極大値か極小値となるかを調べていきます。

今回は点 (1,1) において極値を持つので点 (1,1) が極大値か極小値になるのかを調べます。\[
f_{xx}(1,1) = 6 > 0
\]なので点 (1,1) は極小値となることがわかります。

よって、関数\[
f(x,y) = x^3 + y^3 - 3xy
\]は点 (1,1) において極小値を持つ。その値は\[
f(1,1) = 1 + 1 - 3 = -1
\]より-1となる。

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２．極値を求める流れ

では、極値を取る流れを確認していきましょう。

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３．練習問題

今回はここまでです。

なので2問だけですが練習していきましょう。

練習1

次の2変数関数\[
f(x,y) = x^3 y + xy^3 - xy
\]の極値とそのときの点 \( (x,y) \) を求めなさい。

練習2

次の2変数関数\[
f(x,y) = e^{-x^2-y^2} (x^2 + 2y^2)
\]の極値とそのときの点 \( (x,y) \) を求めなさい。

４．練習問題の答え

解答1

Step1: 停留点の確認

条件\[
f_x = f_y = 0
\]を満たすような点を調べる。\[
f_x = 3x^2 y + y^3 - y = y(3x^2+y^2-1) = 0 \]\[
f_y = x^3 + 3xy^2 - x = x(x^2 + 3y^2-1)= 0
\]をともに満たすような \( (x,y) \) を考える。

つまり、（ \( y = 0 \) または \( 3x^2 + y^2 - 1 = 0 \) ）かつ（ \( x = 0 \) または \( x^2 + 3y^2 - 1 = 0 \) ）を満たすような \( x,y \) を求めればよい。

(1) \( y = 0 \) かつ \( x = 0 \) のとき
→ \( (x,y) = (0,0) \) が停留点

(2) \( y = 0 \) かつ \( x^2 + 3y^2 - 1 = 0 \) のとき
→ \( x^2 - 1 = 0 \) を満たせばよいので \( (x,y) = ( \pm 1, 0) \) が停留点

(3) \( 3x^2 + y^2 - 1 = 0 \) かつ \( x = 0 \) のとき
→ \( y^2 - 1 = 0 \) を満たせばよいので \( (x,y) = (0, \pm 1) \) が停留点

(4) \( 3x^2 + y^2 - 1 = 0 \) かつ \( x^2 + 3y^2 - 1 = 0 \) のとき
→ \( y^2 = 1 - 3x^2 \) が成り立つので、\[\begin{align*} &
x^2 + 3y^2 - 1
\\ = & x^2 + 3(1-3x^2)-1
\\ = & -8x^2 +2 =0
\end{align*}\]より、\[
x^2 = \frac{1}{4} \\
x = \pm \frac{1}{2}
\]となる。また、そのときの \( y \) の値は\[\begin{align*}
y^2  & = 1 - 3x^2
\\ & = 1 - \frac{3}{4}
\\ & = \frac{1}{4}
\end{align*}\]となるので、\[
y = \pm \frac{1}{2}
\]となる。

よって、停留点は、\[
(x,y) = \left( \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{1}{2} \right)
\]となる。ただし、複号任意*3である。

Step2: 停留点が極値かどうかの確認・極大値極小値の判定

つぎに \( f(x,y) \) を2次偏導関数まで求めます。\[
f_{xx} = 6xy , \ \ \
f_{xy} = f_{yx} = 3x^2 + 3y^2 - 1, \ \  \
f_{yy} = 6xy
\]となる。

(1) \( (x,y) = (0,0) \) のとき\[\begin{align*}
H = & \left| \begin{array}{ccc} f_{xx}(0,0) & f_{xy}(0,0) \\ f_{yx}(0,0) & f_{yy}(0,0) \end{array} \right|
\\ = & \left| \begin{array}{ccc} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{array} \right| \\ = & -1 < 0
\end{align*} \]なので点 (0,0) は極値ではない。

(2) \( (x,y) = (\pm 1, 0) \) のとき\[\begin{align*}
H = & \left| \begin{array}{ccc} f_{xx}(\pm 1,0) & f_{xy}(\pm 1,0) \\ f_{yx}(\pm 1,0) & f_{yy}(\pm 1,0) \end{array} \right|
\\ = & \left| \begin{array}{ccc} 0 & 2 \\ 2 & 0 \end{array} \right| \\ = & -4 < 0
\end{align*} \]なので点 (±1,0) は極値ではない。

(3) \( (x,y) = (0, \pm 1) \) のとき\[\begin{align*}
H = & \left| \begin{array}{ccc} f_{xx} (0, \pm 1) & f_{xy}(0, \pm 1) \\ f_{yx}(0, \pm 1) & f_{yy} (0, \pm 1)\end{array} \right|
\\ = & \left| \begin{array}{ccc} 0 & 2 \\ 2 & 0 \end{array} \right| \\ = & -4 < 0
\end{align*} \]なので点 (0,±1) は極値ではない。

(4) \( (x,y) =\left( \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{1}{2} \right)  \) のとき（複号同順*4）\[\begin{align*}
H = & \left| \begin{array}{ccc} f_{xx} \left( \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{1}{2} \right)  & f_{xy}\left( \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{1}{2} \right) \\ f_{yx} \left( \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{1}{2} \right)  & f_{yy} \left( \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{1}{2} \right)  \end{array} \right|
\\ = & \left| \begin{array}{ccc} \frac{3}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{3}{2} \end{array} \right|
\\ = & \frac{1}{4} \left| \begin{array}{ccc} 3 & 1 \\ 1 & 3 \end{array} \right| \\ = & 2 > 0
\end{align*} \]なので点 \( \left( \pm \frac{1}{2},\pm \frac{1}{2}\right) \) は極値となる。

また、\[
f_{xx} \left( \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{1}{2} \right) = 3 > 0
\]なので\[
(x,y) = \left( \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{1}{2} \right)
\]は極小値となり、その値は\[\begin{align*}
f\left( \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{1}{2} \right) & = \frac{1}{16} + \frac{1}{16} - \frac{1}{4}
\\ & = - \frac{1}{8}
\end{align*} \]となる。

(5) \( (x,y) =\left( \pm \frac{1}{2}, \mp \frac{1}{2} \right)  \) のとき（複号同順*5）\[\begin{align*}
H = & \left| \begin{array}{ccc} f_{xx} \left( \pm \frac{1}{2}, \mp \frac{1}{2} \right)  & f_{xy}\left( \pm \frac{1}{2}, \mp \frac{1}{2} \right) \\ f_{yx} \left( \pm \frac{1}{2}, \mp \frac{1}{2} \right)  & f_{yy} \left( \pm \frac{1}{2}, \mp \frac{1}{2} \right)  \end{array} \right|
\\ = & \left| \begin{array}{ccc} \frac{3}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{3}{2} \end{array} \right|
\\ = & \frac{1}{4} \left| \begin{array}{ccc} -3 & 1 \\ 1 & -3 \end{array} \right| \\ = & 2 > 0
\end{align*} \]なので点 \( \left( \pm \frac{1}{2},\mp \frac{1}{2}\right) \) は極値となる。

また、\[
f_{xx} \left( \pm \frac{1}{2}, \mp \frac{1}{2} \right) = -3 < 0
\]なので\[
(x,y) = \left( \pm \frac{1}{2}, \mp \frac{1}{2} \right)
\]は極大値となり、その値は\[\begin{align*}
f\left( \pm \frac{1}{2}, \mp \frac{1}{2} \right) & = - \frac{1}{16} - \frac{1}{16} + \frac{1}{4}
\\ & = \frac{1}{8}
\end{align*} \]となる。

解答2

条件\[
f_x = f_y = 0
\]を満たすような点を調べる。\[\begin{align*}
f_x & = -2x (x^2 + 2y^2) e^{-x^2-y^2} + 2x e^{-x^2-y^2}
\\ & = (-2x^3 - 4xy^2 + 2x) e^{-x^2-y^2}
\\ & = -2x(x^2 + 2y^2 - 1) e^{-x^2-y^2}
\end{align*}
\] \[\begin{align*}
f_y & = -2y (x^2 + 2y^2) e^{-x^2-y^2} + 4y e^{-x^2-y^2}
\\ & = (-2x^3 - 4xy^2 + 4y) e^{-x^2-y^2}
\\ & = -2y(x^2 + 2y^2 - 2) e^{-x^2-y^2}
\end{align*}
\]をともに満たすような \( (x,y) \) を考える。

つまり、（ \( -2x = 0 \) または \( x^2 + 2y^2 - 1 = 0 \) ）かつ（ \(  -2y = 0 \) または \(  x^2 + 2y^2 - 2 = 0 \) ）を満たすような \( x,y \) を求めればよい。

(1) \( -2x = 0 \) かつ \( -2y = 0 \) のとき
→ \( (x,y) = (0,0) \) が停留点

(2) \( -2x = 0 \) かつ \( x^2 + 2y^2 - 2 = 0 \) のとき
→ \( 2y^2 - 2 = 0 \) を満たせばよいので \( (x,y) = ( 0,\pm 1) \) が停留点

(3) \( x^2 + 2y^2 - 1 = 0 \) かつ \( -2y = 0 \) のとき
→ \( x^2 - 1 = 0 \) を満たせばよいので \( (x,y) = (\pm 1,0) \) が停留点

(4) \( x^2 + 2y^2 - 1 = 0 \) かつ \( x^2 + 2y^2 - 2 = 0 \) のとき
→明らかに存在しない*6

Step2: 停留点が極値かどうかの確認・極大値極小値の判定

\( f(x,y) \) の2次偏導関数を求める。\[\begin{align*}
f_{xx} & =  -2x (-2x^3 - 4xy^2 + 2x) e^{-x^2-y^2} + (-6x^2 - 4y^2 + 2) e^{-x^2-y^2}
\\ & = (4x^4 + 8x^2 y^2 - 10x^2 - 4y^2 + 2) e^{-x^2-y^2}
\end{align*}
\]\[\begin{align*}
f_{xy} & =  -2y (-2x^3 - 4xy^2 + 2x) e^{-x^2-y^2} - 8xy e^{-x^2-y^2}
\\ & = (4x^3 y + 8x y^3 - 12xy) e^{-x^2-y^2}
\end{align*}
\]\[\begin{align*}
f_{yy} & =  -2y (-2x^2y - 4y^3 + 4y) e^{-x^2-y^2} - (-2x^2 - 12 y^2 + 4) e^{-x^2-y^2}
\\ & = (4 x^2 y^2 - 2x^2 + 8y^4 - 20 y^2 + 4) e^{-x^2-y^2}
\end{align*}
\]となる。

(1) \( (x,y) = (0,0) \) のとき\[\begin{align*}
H = & \left| \begin{array}{ccc} f_{xx}(0,0) & f_{xy}(0,0) \\ f_{yx}(0,0) & f_{yy}(0,0) \end{array} \right|
\\ = & \left| \begin{array}{ccc} 2 & 0 \\ 0 & 4 \end{array} \right| \\ = & 8 > 0
\end{align*} \]なので点 \( (0,0) \) は極値となる。

また、\[
f_{xx} (0,\pm 1) = 2 > 0
\]なので\[
(x,y) = (0,0)
\]は極小値となり、その値は\[\begin{align*}
f(0,0) = 0
\end{align*} \]となる。

(2) \( (x,y) = (0,\pm 1) \) のとき\[\begin{align*}
H = & \left| \begin{array}{ccc} f_{xx}(0,\pm 1) & f_{xy}(0,\pm 1) \\ f_{yx}(0,\pm 1) & f_{yy}(0,\pm 1) \end{array} \right|
\\ = & \left| \begin{array}{ccc} - \frac{2}{e} & 0 \\ 0 & - \frac{8}{e} \end{array} \right| \\ = & \frac{16}{e^2} > 0
\end{align*} \]なので点 \( (0,\pm 1) \) は極値となる。

また、\[
f_{xx} (0,\pm 1) = - \frac{2}{e} < 0
\]なので\[
(x,y) = (0,\pm 1)
\]は極大値となり、その値は\[\begin{align*}
f(0,\pm 1) = 2 e^{-1} = \frac{2}{e}
\end{align*} \]となる。

(3) \( (x,y) = (\pm 1,0) \) のとき\[\begin{align*}
H = & \left| \begin{array}{ccc} f_{xx}(\pm 1,0) & f_{xy}(\pm 1,0) \\ f_{yx}(\pm 1,0) & f_{yy}(\pm 1,0) \end{array} \right|
\\ = & \left| \begin{array}{ccc}  \frac{2}{e} & 0 \\ 0 & - \frac{8}{e} \end{array} \right| \\ = & - \frac{16}{e^2} < 0
\end{align*} \]なので点 \( (0,\pm 1) \) は極値をとらない。

５．さいごに

今回は2変数関数の極値を求める方法についてまとめました。

意外と計算がめんどくさいので、計算になれましょう……

次回は、とある条件のもとでの2変数関数の最大最小を求める方法についてまとめていきたいと思います。