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こんにちは、ももやまです。
今回は大学の線形代数で最初に習うベクトルについて、具体的には
- 高校生までのベクトルの違い
- ベクトルの内積
- ベクトルの外積
について説明していきたいと思います。
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1.高校までのベクトルとの違い
(1) ベクトルってなんだろう
皆さんは、数Bで「ベクトル」を習ったときに、ベクトルは向きや大きさを持った矢印
しかし、線形代数で出てくるベクトルは、矢印
また、ベクトルの表記の仕方も高校までで使った
(※ただし、本ブログにおいてはベクトル表記
その1. ベクトルの定義
また、
その2. ベクトルの表記
線形代数におけるベクトルは
その3. ベクトルの和と定数倍
ベクトル
このとき、ベクトルの和
高校数学では、
大学の線形代数では、
(2) 縦ベクトルと横ベクトル
高校数学では
この表記は、横方向に数字を書いているので横ベクトル(列ベクトル)と呼ばれます。
一方線形代数におけるベクトルでは、
この表記は、縦方向に数字を書いているので縦ベクトル(行ベクトル)と呼ばれます。
(3) ゼロベクトル
成分がすべて0のベクトル
(4) ベクトルの計算法則
最後にベクトルの計算法則を確認しておきましょう。
とは言っても、高校数学のときと変わらないので特に身構える必要はありません。
ある
その1. 足し算を入れ替えても計算結果は変わらない
その2. 3個以上ベクトルが並んでいればどこから計算してもOK
その3. 定数 k を分配することができる
その4. 2つ以上の定数を分離することができる
どれも当たり前なのでささっと終わらせましょう。
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2.内積(スカラー積)・ベクトルの大きさ
ここからは、ベクトルをわかりやすく表記するため、矢印表記
(1) 線形代数における内積
高校数学では、内積
しかし、線形代数のベクトルは4次元以上のものが出てきます。
4次元のベクトルがなす角度の想像はちょっときついですね。
そこで、線形代数におけるベクトルでは、2つのベクトルのなす角ではなく、成分を用いて
成分計算で定義すれば、4次元ベクトルの角度を想像する必要はありませんよね。
ベクトル
また、
ちなみに内積はスカラー積とも呼ばれます。頭の片隅にでも入れておけばOKです。
(2) 内積と直交
ベクトル
高校数学で出てきたベクトルと同じですね!
(3) 内積の計算法則
内積の計算法則を確認しておきましょう。
ベクトルの内積には、下のような法則が成り立ちます。
ベクトル
その1. 順番を入れ替えても内積の値はかわらない
その2. 内積の分解公式
その3. 定数倍を分離できる
(4) ベクトルの大きさ
高校数学で出てきたベクトル(2次元・3次元ベクトル)は、始点からの終点までの距離を表していましたね。
4次元以上のベクトルにおいても、始点から終点までの距離を求めるように成分で定義されます。
なお、大きさが1のベクトルのことを単位ベクトルと呼ぶので頭にいれておきましょう。
(5) ベクトルの正規化
最後に正規化について説明しておきましょう。
ベクトルの向きをそのままにして、大きさを1(単位ベクトル)にする処理のことを正規化といいます。
ベクトル
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3.外積(ベクトル積)
内積があれば外積ってないの…?と思った人もいるかもしれません。
安心してください、あります。しかも、大学の物理などでも使われる重要な分野なので、頭にいれておきましょう。
(数検1級を受ける人は、外積の問題が計算問題で出ることがあるので確実に得点源にできるようにしましょう!)
ただし、3次元ベクトル以外の外積を使う機会はほぼないので、今回は3次元ベクトルに限定して外積の説明をしたいと思います。
(期末試験でも3次元ベクトル以外の外積を求める機会はないと思ってOKです)
(1) 外積(ベクトル積)の定義
まず、成分を用いた外積の定義から見ていきましょう。
3次元実ベクトル
外積は計算結果がベクトルとなるのが特徴です。内積は、計算結果がスカラーでしたね。
(なので内積のことをスカラー積、外積のことをベクトル積と呼ぶ。)
ところで、少し公式が覚えにくいですね。
なので、下のようなたすき掛けの形で頭にいれておきましょう。
(
ちなみに、たすき掛けの右下方向が足し算、右上方向が引き算なので逆にしないように気を付けましょう。
1問計算練習をしてみましょう。
例題1
次の3次元ベクトル
解説1
同様に、
あれ、
実は上の計算のように、外積
(2) 外積(ベクトル積)の計算法則
つぎに、外積の計算法則を確認しておきましょう。
3次元実ベクトル
その1. 定数倍は分離できる
その2. 計算順序を入れ替えると符号が変わる
その3. 括弧を外しても計算結果は変わらない
(1)で説明した通り、計算順序を入れ替えると符号が逆になる点が要注意ポイントです。
(3) 外積(ベクトル積)のイメージ
外積のイメージは、
- ベクトル
, の両方に直交するベクトル
(向きのイメージ) - 2つのベクトル
, が張る平行四辺形がそのまま外積の大きさ
(大きさのイメージ)
を満たすようなベクトルとなります。
つまり、ベクトル
(4) 外積の検算テクニック(期末試験で使える!)
ベクトル
(
垂直であるということは、内積が0になると言い換えられますね。
この性質を外積の検算に利用します。外積
期末試験や数検の試験などで「答えが合っている安心感」を得たい人は、必ず検算するようにしましょう。
ベクトル
(ただし符号が正しいかどうかは判定できないので注意)
外積の検算
例題2
次の3次元ベクトル
外積
解説2
内積を計算すると
(5) 行列式を用いた外積の表し方
外積の公式は、下のように行列式を用いて表すこともできます。
(
サラスの公式を習った後は、こちらの表記で頭にいれておくことをおすすめします。
実際にサラスの公式を使って計算すると、
行列式を(予習・復習)したい人はこちらの記事で復習ができるので、ぜひご覧ください。
(6) 平行四辺形の面積・平行六面体の体積
外積を用いることで、ベクトルが張る平行四辺形の面積、ベクトルが張る平行六面体の体積を求めることができます。
(i) 平行四辺形の面積
2つのベクトル
[導出過程]
下の2つのベクトル
平行四辺形の面積は、底辺 OA × 高さ BH で求めることができますね。
底辺は
ここで、ベクトル
ベクトル
(ii) 平行六面体の体積
3つのベクトル
[導出過程]
下の3つのベクトル
平行六面体の面積は、ベクトル
底目は
式を変形していくと、
ベクトル
4.外積を用いた三角形・三角錐の面積の求め方
外積を応用することで、三角形や三角錐の面積を簡単に求めることができます。
(1) 三角形の面積
ベクトル
三角形OABの面積を求めるためには、下のように平行四辺形の面積
よって、ベクトル
(数1で出てきた面積公式
(2) 三角錐の面積
ベクトル
三角錐OABCの体積を求めるためには、
- 平行六面体に比べて底面の大きさが1/2(三角形)
- 三角錐なので三角柱に比べて面積が1/3
されることを踏まえると、平行六面体の面積を1/6することで求めることができますね。
よって、三角錐OABCの体積
5.練習問題
では、最後に練習問題を1問用意してみました。
理解できたかどうかのチャレンジにどうぞ!
問題
3次元ベクトル
(1) ベクトル
(2) ベクトル
(3)
(4)
(5) 三角形OABの面積
(6) 三角錐OABCの体積
6.練習問題の答え
(1)
まずはウォーミングアップ。
(2)
内積
(3)
内積を計算すると
また、
(4)
外積
(大きさ1のベクトルは2つ存在するので注意! 逆方向を忘れないように!)
ここで、
(5)
パターン1. 外積で求める方法
三角形OABの面積
パターン2.
三角形OABの面積
(もちろん2つのベクトルが張る平行四辺形の面積が
(6)
3つのベクトル
三角錐OABCの面積
7.さいごに
今回は、
- 高校数学のベクトルと線形代数におけるベクトルの違い
- 線形代数における内積
- 外積とその応用
についてまとめました。
外積は、大学の物理にも出でくる重要な項目なので、必ず復習しておきましょう。
*1:先生から指示がない限りは別に太字ではなく、今まで通り
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