うさぎでもわかる線形代数　行列式の四則演算練習

こんにちは、ももやまです！
今回は少し前に載せられなかった行列式の四則演算の練習問題をまとめてみました。

行列の四則演算の仕方はこちらに載せているのでわからなくなった人はこちらをご覧ください。

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１．練習問題

では少し練習してみましょう。

練習1

3つの行列 \( A, B, C \) を、\[ 
A = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 3 & 2 \\ -1 & 2 & 2  \end{array} \right)  \ \ 
B = \left( \begin{array}{ccc} 2 & 3 \\ -1 & 2  \end{array} \right)  \\
C = \left( \begin{array}{ccc} 3 & 1 \\ 2 & -1 \\ 0 & 4  \end{array} \right) 
\]とし、3つの列ベクトル \( \vec{x}, \vec{y}, \vec{z} \) を\[ 
\vec{x} = \left( \begin{array}{ccc} 1 \\ -1  \end{array} \right)  \ \ 
\vec{y} = \left( \begin{array}{ccc} 2 \\ 3   \end{array} \right) \ \
\vec{z} = \left( \begin{array}{ccc} 1 \\ 2 \\ 3   \end{array} \right)
\]とする。このとき、次の(1)～(10)の計算をしなさい、ただし、定義されない計算の場合は「定義できない」と書くこと。

(1) \( A + B \)  (2) \( AC \)  (3) \( CA \) 
(4) \( ({}^t\!A + C) \) (5) \( B({}^t\!A + C) \)  (6) \( ({}^t\!A + C)B \)
(7) \( A \vec{z} \)  (8) \( C \vec{z} \)  (9) \( B \vec{y} \)  (10)  \( {}^t\! \vec{x} \vec{y} \)

解答1

行列 \( A \) は2行3列
行列 \( B \) は2行2列
行列 \( C \) は3行2列

(1) 行列 \( A \) と \( B \) の行の数は同じだが列の数が異なるので計算が定義されない。
(2) 2行3列×3行2列＝2行2列 となる。\[
\begin{align*} & \left( \begin{array}{ccc} 1 & 3 & 2 \\ -1 & 2 & 2  \end{array} \right)  \left( \begin{array}{ccc} 3 & 1 \\ 2 & -1 \\ 0 & 4   \end{array} \right) \\ = \ & \left(\begin{array}{ccc} 3+6+0 & 1-3+8 \\ -3+4+0 & -1 -2 +8   \end{array} \right) = \left(\begin{array}{ccc} 9 & 6 \\ 1 & 5   \end{array} \right)
\end{align*}
\]

(3) 3行2列×2行3列＝3行3列となる。\[
\begin{align*} & \left( \begin{array}{ccc} 3 & 1 \\ 2 & -1 \\ 0 & 4  \end{array} \right)  \left( \begin{array}{ccc} 1 & 3 & 2 \\ -1 & 2 & 2   \end{array} \right) \\ = \ & \left(\begin{array}{ccc} 3-1 & 9 + 2 & 6 + 2 \\ 2 + 1 & 6 - 2 & 4 - 2 \\ 0 - 4 & 0 + 8 & 0 + 8   \end{array} \right) = \left(\begin{array}{ccc} 2 & 11 & 8 \\ 3 & 4 & 2 \\ -4 & 8 & 8   \end{array} \right)
\end{align*}
\] 

(4)
（\(  {}^t\!A \) は3行2列、\( C \) も3行2列なので足し算の計算可能）\[{}^t\!A = \left( \begin{array}{ccc} 1 & -1 \\ 3 & 2 \\ 2 & 2  \end{array} \right) \]より、\[\begin{align*}
 {}^t\!A + C = &   \left( \begin{array}{ccc} 1 & -1 \\ 3 & 2 \\ 2 & 2  \end{array} \right) + \left( \begin{array}{ccc} 3 & 1 \\ 2 & -1 \\ 0 & 4   \end{array} \right) \\ = & \left( \begin{array}{ccc} 1+3 & -1+1 \\ 3+2 & 2-1 \\ 2+0 & 2+4   \end{array} \right) = \left( \begin{array}{ccc} 4 & 0 \\ 5 & 1 \\ 2 & 6   \end{array} \right) 
\end{align*} \]

(5) 2行2列×3行2列なので左の列と右の行が一致しておらず計算が定義されない。

(6) 3行2列×2行2列＝3行2列 \[\begin{align*}
 ({}^t\!A + C)B = &  \left( \begin{array}{ccc} 4 & 0 \\ 5 & 1 \\ 2 & 6   \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc} 2 & 3 \\ -1 & 2  \end{array} \right) \\ = & \left( \begin{array}{ccc} 8+0 & 12+0 \\ 10-1 & 15+2 \\ 4-6 & 6 + 12   \end{array} \right) = \left( \begin{array}{ccc} 8 & 12 \\ 9 & 17 \\ -2 & 18 \end{array} \right)
\end{align*} \]

(7) 2行3列×3行1列＝2行1列 \[ \begin{align*}
A \vec{z} = & \left( \begin{array}{ccc} 1 & 3 & 2 \\ -1 & 2 & 2 \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array} \right)
\\ = & \left( \begin{array}{ccc} 1+6+6 \\ -1+4+6 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{ccc} 13 \\ 9 \end{array} \right)
\end{align*} \]

(8) 3行2列×3行1列なので左の列と右の行が一致しておらず計算が定義されない。

(9)  2行2列×2行1列＝2行1列\[ \begin{align*}
A \vec{z} = & \left( \begin{array}{ccc} 2 & 3 \\ -1 & 2 \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc} 2 \\ 3 \end{array} \right)
\\ = & \left( \begin{array}{ccc} 4 + 9 \\ -2 + 6 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{ccc} 13 \\ 4 \end{array} \right)
\end{align*} \]

(10) 1行2列×2行1列＝1行1列（内積）\[ \begin{align*}
{}^t\! \vec{x} \vec{y} = & \left( \begin{array}{ccc} 1 & -1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc} 2 \\ 3 \end{array} \right)
\\ = & 2 - 3 = -1 
\end{align*} \]

練習2

2次正方行列 \( A, B, C \) を、\[ 
A = \left( \begin{array}{ccc} 3 & -1 \\ 0 & 2 \end{array} \right)  \ \ \ 
B = \left( \begin{array}{ccc} 2 & 1 \\ -1 & 2  \end{array} \right)  \\
C = \left( \begin{array}{ccc} -1 & 0 \\ 1 & 3 \end{array} \right)  \ \ 
\]

とする。このとき、

(1) \( AB \)、\( BC \)、\( AC \) を求めなさい。
(2) \( A(BC) = (AB)C \) が成立することを確認しなさい。
(3) \( (A+B)C = AC + BC \) が成立することを確認しなさい。
(4) \(  {}^t\!A \)、\( {}^t\!B \) を求めなさい。
(5) \( {}^t\!(AB) = {}^t\!B {}^t\!A \) が成立することを確認しなさい。

解答2

(1) \[
\begin{align*} AB = & \left( \begin{array}{ccc} 3 & -1 \\ 0 & 2  \end{array} \right)  \left( \begin{array}{ccc} 2 & 1 \\ -1 & 2  \end{array} \right) \\ = & \left(\begin{array}{ccc} 6+1 & 3-2 \\ -2 & 4   \end{array} \right)
=  \left(\begin{array}{ccc} 7 & 1 \\ -2 & 4   \end{array} \right)
\end{align*}
\]\[
 \begin{align*} AC = &  \left( \begin{array}{ccc} 3 & -1 \\ 0 & 2  \end{array} \right)  \left( \begin{array}{ccc} -1 & 0 \\ 1 & 3  \end{array} \right) \\ = &  \left(\begin{array}{ccc} -4 & -3 \\ 2 & 6   \end{array} \right)
\end{align*}
\]\[
 \begin{align*}  BC = & \left( \begin{array}{ccc} 2 & 1 \\ -1 & 2  \end{array} \right)  \left( \begin{array}{ccc} -1 & 0 \\ 1 & 3  \end{array} \right) \\ = &  \left(\begin{array}{ccc} -1 & 3 \\ 3 & 6   \end{array} \right)
\end{align*}
\]と計算できる。

(2) \[
 \begin{align*} A(BC) = &  \left( \begin{array}{ccc} 3 & -1 \\ 0 & 2  \end{array} \right)  \left( \begin{array}{ccc} -1 & 3 \\ 3 & 6  \end{array} \right) \\ = & \left(\begin{array}{ccc} 6+1 & 3-2 \\ -2 & 4   \end{array} \right)
=  \left(\begin{array}{ccc} -6 & 3 \\ 6 & 12   \end{array} \right)
\end{align*}
\] \[
 \begin{align*} (AB)C = & \left( \begin{array}{ccc} 7 & 1 \\ -2 & 4  \end{array} \right)  \left( \begin{array}{ccc} -1 & 0 \\ 1 & 3  \end{array} \right) \\ = & \left(\begin{array}{ccc} 6+1 & 3-2 \\ -2 & 4   \end{array} \right)
=  \left(\begin{array}{ccc} -6 & 3 \\ 6 & 12   \end{array} \right)
\end{align*}
\]となり、確かに \( A(BC) = (AB)C \) である。

(3)\[
 \begin{align*} A+B = & \left( \begin{array}{ccc} 3 & -1 \\ 0 & 2  \end{array} \right) + \left( \begin{array}{ccc} 2 & 1 \\ -1 & 2  \end{array} \right) 
\\ = &  \left(\begin{array}{ccc} 5 & 0 \\ -1 & 4   \end{array} \right)
\end{align*}
\]より、\[
 \begin{align*} (A+B)C = & \left( \begin{array}{ccc} 5 & 0 \\ -1 & 4  \end{array} \right)  \left( \begin{array}{ccc} -1 & 0 \\ 1 & 3  \end{array} \right) \\ = &  \left(\begin{array}{ccc} -5 & 0 \\ 5 & 12   \end{array} \right)
\end{align*}
\]\[
 \begin{align*} AC+BC = & \left( \begin{array}{ccc} -4 & -3 \\ 2 & 6  \end{array} \right) + \left( \begin{array}{ccc} -1 & 3 \\ 3 & 6 \end{array} \right) 
\\ = &  \left(\begin{array}{ccc} -5 & 0 \\ 5 & 12   \end{array} \right)
\end{align*}
\]となり、確かに \( (A+B)C = AB +AC \) である。 
(4) \[ 
{}^t\!A = \left( \begin{array}{ccc} 3 & 0 \\ -1 & 2 \end{array} \right)  \ \ 
{}^t\!B = \left( \begin{array}{ccc} 2 & -1 \\ 1 & 2  \end{array} \right)  \\
\](5)\[ 
{}^t\!(AB) = \left(\begin{array}{ccc} 7 & -2 \\ 1 & 4   \end{array} \right) \\
 \begin{align*} {}^t\!B {}^t\!A = & \left( \begin{array}{ccc} 2 & -1 \\ 1 & 2  \end{array} \right)  \left( \begin{array}{ccc} 3 & 0 \\ -1 & 2  \end{array} \right) \\ = &  \left(\begin{array}{ccc} 7 & -2 \\ 1 & 12   \end{array} \right)
\end{align*}
\]となり、確かに \( {}^t\!(AB) = {}^t\!B {}^t\!A \) である。

練習3

次の行列 \( A \) の \( n \)乗、つまり \( A^n \) の推定をしたい。\[ A = \left( \begin{array}{ccc} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right)
\](1) \( A^2 \), \( A^3 \), \( A^4 \), \( A^5 \) を求めなさい。
(2) \( A^n \) を推測し、それを数学的帰納法で示しなさい。

数学的帰納法についてはこちらにまとめているのでわからなければこちらをご覧ください。

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解答3

(1)

[訂正]

\[
A^5 = \left( \begin{array}{ccc} 32 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 5 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right)
\]です。申し訳ございません。

(2)

(ii)の部分は丁寧に書いたバージョンと省略して書いたバージョンの2パターンをそれぞれ記します。

省略バージョンは大学の教員はよく使う書き方です。

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３．さいごに

今回は行列の四則演算の練習問題をまとめました。
この問題が四則演算をスムーズに進めるための助けとなれば幸いです。