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こんにちは、ももやまです。
そろそろ少し複雑な微分方程式でも解いてみましょうか。
ということで、今回は1階微分方程式の中でも、
- 1階線形微分方程式の一般解の求め方
- ベルヌーイの微分方程式の一般解の求め方
の2種類の微分方程式の解き方について、わかりやすく説明していきたいと思います。
前回の微分方程式の記事はこちら↓↓
目次 [hide]
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1.1階線形微分方程式
(1) 1階線形微分方程式とは(復習)
まずは、1階線形微分方程式とはどんな微分方程式だったかを復習していきましょう。
1階線形微分方程式ということは、
- 1階(どの項も最大1回微分までの項しかない)
- 線形(
, 同士の掛け算をしている項がない)
の2つの条件を満たす微分方程式です。実際に1階線形微分方程式を式で表してみると
(2) 1階線形微分方程式の同次 / 非同次方程式(復習)
同次(斉次)方程式 / 非同次(非斉次)方程式についても復習しておきましょう。
1階微分方程式の中でも、
一方
前回の記事で出てきた同次形の同次と、同次方程式の同次は全く関係ないので注意してください*1。(そのため、同次方程式のことを斉次方程式と呼ぶ人も多い)
(3) 1階線形微分方程式の解き方
では、実際に1階線形微分方程式の解き方を例題を用いて説明していきましょう。
例題1
次の1階線形微分方程式
(1) 同次方程式
(2) 非同次方程式
解説1
(1)
同次方程式は、両辺を
両辺を
さらに、
(2)
先程同次方程式
当然ですが、同次方程式の一般解は問題の微分方程式の一般解ではありません。
そこで、もし同次方程式の任意定数
(1)の一般解の任意定数
この
この微分方程式は、両辺を
1階線形微分方程式
つぎに、同次形の任意定数
両辺を
最後に
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2.ベルヌーイの微分方程式
ここからは、1階線形微分方程式を少し応用したベルヌーイの微分方程式について説明していきたいと思います。
(1) ベルヌーイ微分方程式とは
1階微分方程式が
ベルヌーイの微分方程式は、そのままの形だと1階線形微分方程式ではないため、解くのが難しいですが、
(2) ベルヌーイの微分方程式の解き方
では、実際にベルヌーイの微分方程式の仕組み、解き方を例題を用いて説明していきましょう。
例題2
次の1階線形微分方程式
(1) この微分方程式は、
(2) 題意の微分方程式の一般解を求めなさい。
解説2
(1)
まず、右辺の
ここで、左辺にある
すると、
(
(2)
ここから、1階線形微分方程式と同じように解いていきます。
まず、同次方程式
同次方程式は、両辺を
両辺を
さらに、
ここで、一般解の任意定数
この
この微分方程式は、両辺を
ベルヌーイの微分方程式
あとは、1階線形微分方程式のの解き方に沿って、
- 同次方程式の一般解を求める。
- 一般解に出てきた任意定数
を の関数 と仮定する。 を求め、一般解に代入する。 を代入し、 の式から の式に戻す。
の4ステップで一般解を求めることができる。
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3.練習問題
では、3問ほど練習してみましょう。
1問が1階線形微分方程式の形、残りの2問がベルヌーイの微分方程式に関する問題となっております。
練習1
微分方程式
練習2
微分方程式
(1)
(2) 微分方程式の一般解を求めなさい。
練習3
微分方程式
4.練習問題の答え
解答1
まず、同次方程式
同次方程式は、両辺を
両辺を
さらに、
ここで、同次方程式の一般解の任意定数
この
この微分方程式は、両辺に
この積分は、
さらに、
よって、
解答2
(1)
微分方程式
ここで、問題文の通り、
すると、
(2)
まず、同次方程式
同次方程式は、両辺を
両辺を
さらに、
ここで、一般解の任意定数
この
この微分方程式は、両辺に
ちなみに、y = の形に直すと、
解答3
誘導なしで気付きにくいかもしれないが、
両辺を
すると、
つぎに、同次方程式
同次方程式は、両辺を
両辺を
さらに、
ここで、一般解の任意定数
この
この微分方程式は、両辺を
5.さいごに
今回は、
- 1階線形微分方程式の解き方
- ベルヌーイの微分方程式の解き方
の2つを紹介しました。
そろそろ微分方程式を解いた感が出てきたのではないでしょうか。
次回は、完全微分方程式の解き方について説明していきたいと思います。
ではまた次回。
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