うさぎでもわかる微分方程式　Part07　オイラーの微分方程式

こんにちは、ももやまです。

前回は同次式の定数係数2階線形微分方程式の解き方について説明しました。

今回は、特殊な置き換えをすることで定数係数2階線形微分方程式の形に持ち込めるオイラーの微分方程式の解き方について説明していきたいと思います。

前回の微分方程式の記事はこちら！

www.momoyama-usagi.com

定数係数微分方程式の解き方がイマイチな人や全然わからない人は上の記事で必ず復習しましょう。

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１．オイラーの微分方程式とは

（2階の）オイラーの微分方程式とは、2階の線形微分方程式の中でも、\[
x^2 \frac{d^2 y}{dx^2} + ax \frac{dy}{dx} + by = R(x)
\]となる微分方程式のことをいいます。

（ただし、\( a \), \( b \) は定数、\( R(x) \) は \( x \) だけの関数）

今回は、2階のオイラーの微分方程式の同次方程式\[
x^2 \frac{d^2 y}{dx^2} + ax \frac{dy}{dx} + by = 0
\]の一般解を求める方法について説明したいと思います。

（余談ですが、オイラーの微分方程式のことをオイラーの方程式と呼ぶこともあります。）

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２．オイラーの微分方程式の解き方

同次式のオイラーの微分方程式は、変数変換を行い、定数係数2階線形微分方程式の形に持ち込むことで、特性方程式を用いて解くことができます。

実際にオイラーの微分方程式\[
x^2 \frac{d^2 y}{dx^2} + ax \frac{dy}{dx} + by = 0
\]を定数係数2階線形微分方程式の形にしてみましょう。

\( t = \log x \) とおくと、\[
x = e^t, \ \ \ \textcolor{red}{\frac{dt}{dx} = \frac{1}{x}}
\]となりますね。

ここで、\( t \) に関する定数係数2階線形微分方程式にするために、\( \frac{d^2y}{dx^2} \), \( \frac{dy}{dx} \) を \( \frac{d^2 y}{dt^2} \), \( \frac{dy}{dx} \) を用いて表してみましょう。

\[\begin{align*}
\frac{dy}{dx} & = \textcolor{red}{ \frac{dt}{dx} } \frac{dy}{dt}
\\ & = \textcolor{red}{ \frac{1}{x} } \frac{dy}{dt}
\end{align*}\]

\[\begin{align*}
\frac{d^2y}{dx^2} & = \frac{d}{dx} \left( \frac{dy}{dx} \right)
\\ & = \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{x} \frac{dy}{dt} \right)
\\ & = \textcolor{blue}{\frac{d}{dx} \left( \frac{1}{x} \right) \frac{dy}{dt} + \frac{1}{x} \frac{d}{dx} \left( \frac{dy}{dt} \right)}
\\ & = - \frac{1}{x^2} \frac{dy}{dt} + \frac{1}{x} \textcolor{red}{\frac{dt}{dx}} \frac{d}{dt} \left( \frac{dy}{dt} \right)
\\ & = - \frac{1}{x^2} \frac{dy}{dt} + \frac{1}{x} \textcolor{red}{\frac{1}{x}} \frac{d^2 y}{dt^2}
\\ & = - \frac{1}{x^2} \frac{dy}{dt} + \frac{1}{x^2} \frac{d^2 y}{dt^2}
\\ & = \frac{1}{x^2} \left( \frac{d^2 y}{dt^2} - \frac{dy}{dt} \right)
\end{align*}\]と表せますね。

※ 赤色部分は \(  \frac{dt}{dx} = \frac{1}{x} \) を代入した部分
※ 青色部分は \( x \) に関する積の微分法を適用した部分

よって、オイラーの微分方程式を\[\begin{align*}
& x^2 \frac{d^2 y}{dx^2} + ax \frac{dy}{dx} + by
\\ = \ & x^2 \left\{ \frac{1}{x^2} \left( \frac{d^2 y}{dt^2} - \frac{dy}{dt} \right) \right\} + ax \left(  \frac{1}{x} \frac{dy}{dt} \right) + by
\\ = \ & \frac{d^2 y}{dt^2} - \frac{dy}{dt} + a \frac{dy}{dt} + by
\\ = \ & \frac{d^2 y}{dt^2} + (a-1) \frac{dy}{dt} + by = 0
\end{align*} \]と書き換えることができます。

実際に1問例題で解いてみましょう。

例題1

微分方程式\[
x^2 \frac{d^2 y}{dx^2} - 2x \frac{dy}{dx} + 2y = 0
\]の一般解について、次の問いに答えなさい。

(1) \( x = e^t \) とおいて、定数係数2階微分方程式の形にしなさい。

(2) (1)で求めた微分方程式の一般解を求めなさい。

(3) 与えられた微分方程式の一般解を求めなさい。

解説1

(1)

\( x = e^t \)、つまり \( t = \log x \) とおくことで、\[
\frac{d^2 y}{dt^2} - 3 \frac{dy}{dt} + 2y = 0
\]と定数係数2階微分方程式となる。

(2)

(1)で求めた微分方程式の一般解を求める。

特性方程式は\[
k^2 - 3k + 2 = 0
\]となるので、\[
(k-1)(k-2) = 0
\]とすることにより、\( k = 1 \), \( k = 2 \) となる。

よって、(1) で求めた微分方程式\[
\frac{d^2 y}{dt^2} - 3 \frac{dy}{dt} + 2y = 0
\]の一般解は、任意定数 \( C_1 \), \( C_2 \) を用いて\[
y = C_1 e^{t}  + C_2 e^{2t}
\]となる。

(3)

\( t = \log x \) を代入することで、\( y = y(x) \) の形に戻す。

よって、\[
x^2 \frac{d^2 y}{dx^2} - 2x \frac{dy}{dx} + 2y = 0
\]の一般解は、\[\begin{align*}
y & = C_1 e^{t} + C_2 e^{2t}
\\ & = C_1 e^{\log x} +C_2 e^{2 \log x}
\\ & = C_1 e^{\log x} +C_2 e^{\log x^2}
\\ & = C_1 x + C_2 x^2
\end{align*}\]と求められる。

いちいち\[
x^2 \frac{d^2 y}{dx^2} + ax \frac{dy}{dx} + by = 0
\]から \( x = \log t \) とおいて、\[
\frac{d^2 y}{dt^2} + (a-1) \frac{dy}{dt} + by = 0
\]と導出するのはめんどくさいので、形を頭に入れておくことをおすすめします。

（\( x^2 \), \( x \) を取っ払って、\( \frac{dy}{dx} \) の項を1減らす覚えると覚えやすいかと思います。）

余談　ちょっと横着な特性方程式の出し方

なお、少し横着ですが、\( y = x^{k} \) とおき、\[
\frac{dy}{dx} = k x^{k-1} \ \ \ \frac{d^2 y}{dx^2} = k(k-1) x^{k-2}
\]としてからオイラーの微分方程式\[\begin{align*}
& x^2 \frac{d^2 y}{dx^2} + ax \frac{dy}{dx} + by
\\ = \ & x^2 \cdot k(k-1) x^{k-2} + ax \cdot k x^{k-1} + b x^{k}
\\ = \ & (k^2 -k) x^k + ak x^{k} + b x^{k}
\\ = \ & k^2 x^k + (a-1)k x^k + b x^k
\end{align*} \]とし、両辺を \( x^k \) で割り、\[
k^2 + (a-1)k + b = 0
\]とすることで特性方程式を導出する方法もあります。

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３．オイラーの微分方程式の一般解の形

2階のオイラー微分方程式\[
x^2 \frac{d^2 y}{dx^2} + ax \frac{dy}{dx} + by = 0
\]の一般解の形は、\( t = \log x \)（\( x = e^t \)）とおき、\[
\frac{d^2 y}{dt^2} + (a-1) \frac{dy}{dt} + by = 0
\]としたときの特性方程式\[
k^2 + (a-1)k + b = 0
\]の解の形によって3パターンに分けられます。

具体的には、

1. 特性方程式が異なる2つの実数解をもつとき
2. 特性方程式が重解をもつとき
3. 特性方程式が異なる2つの虚数解をもつとき

の3つに分けられます。

先に、解がどうなるかを書いておきましょう。

1つずつ見ていきましょう。

(1) 特性方程式が異なる2つの実数解をもつとき

特性方程式\[
k^2 + (a-1)k + b = 0
\]が異なる2つの実数解 \( k_1 \), \( k_2 \) をもつとき、つまり判別式 \( D \) が\[
D = a^2 - 4b > 0
\]となるとき、\( y = y(t) \) の形で表された微分方程式\[
\frac{d^2 y}{dt^2} + (a-1) \frac{dy}{dt} + by = 0
\]の基本解は \( e^{k_1 t} \), \( e^{k_2 t} \) となりますね。

この2つの基本解を \( t = \log x \) を代入することで元に戻すと、\[\begin{align*}
e^{k_1 t} & = e^{k_1 \log x}
\\ & = e^{\log x^{k_1} }
\\ & = x^{k_1}
\end{align*}
\]\[\begin{align*}
e^{k_2 t} & = e^{k_2 \log x}
\\ & = e^{\log x^{k_2} }
\\ & = x^{k_2}
\end{align*}
\]となり、オイラー微分方程式\[
x^2 \frac{d^2 y}{dx^2} + ax \frac{dy}{dx} + b = 0
\]の基本解が \( x^{k_1} \), \( x^{k_2} \) となり、一般解を任意定数 \( C_1 \), \( C_2 \) を用いて\[
y = C_1 x^{k_1} + C_2 x^{k_2}
\]と表すことができます。

(2) 特性方程式が重解となるとき

特性方程式\[
k^2 + (a-1)k + b = 0
\]が重解 \( k_1 = k_2 \) となるとき、つまり判別式 \( D \) が\[
D = a^2 - 4b = 0
\]となるとき、\( y = y(t) \) の形で表された微分方程式\[
\frac{d^2 y}{dt^2} + (a-1) \frac{dy}{dt} + by = 0
\]の基本解は \( e^{k_1 t} \), \( t e^{t k_1} \) となりますね。

この2つの基本解を \( t = \log x \) を代入することで元に戻すと、\[\begin{align*}
e^{k_1 t} & = e^{k_1 \log x}
\\ & = e^{\log x^{k_1} }
\\ & = x^{k_1}
\end{align*}
\]\[\begin{align*}
t e^{t k_1} & = \log x e^{k_1 \log x}
\\ & = \log x e^{\log x^{k_1} }
\\ & = x^{k_1} \log x
\end{align*}
\]となり、オイラー微分方程式\[
x^2 \frac{d^2 y}{dx^2} + ax \frac{dy}{dx} + b = 0
\]の基本解が \( x^{k_1} \), \( \log x^{k_1} \) となり、一般解を任意定数 \( C_1 \), \( C_2 \) を用いて\[
y = C_1 x^{k_1} + C_2 x^{k_1} \log x
\]と表すことができます。

(3) 特性方程式が共役な虚数解となるとき

特性方程式\[
k^2 + (a-1)k + b = 0
\]が共役な虚数解 \( k_1 \), \( k_2 \) となるとき、つまり判別式 \( D \) が\[
D = a^2 - 4b < 0
\]となるとき、\( y = y(t) \) の形で表された微分方程式\[
\frac{d^2 y}{dt^2} + (a-1) \frac{dy}{dt} + by = 0
\]の基本解は、特性方程式の解を \( k_1 = \alpha + \beta i \), \( k_2 = \alpha - \beta i \) とおくことで、\( e^{\alpha t} \sin \beta t \), \( e^{\alpha t} \cos \beta t \) となりますね。

この2つの基本解を \( t = \log x \) を代入することで元に戻すと、\[\begin{align*}
e^{\alpha t} \sin \beta t & = e^{\alpha \log x} \sin (\beta \log x)
\\ & = e^{\log x^{\alpha}} \sin (\beta \log x)
\\ & = x^{\alpha} \sin (\beta \log x)
\end{align*}
\]\[\begin{align*}
e^{\alpha t} \cos \beta t & = e^{\alpha \log x} \cos (\beta \log x)
\\ & = e^{\log x^{\alpha}} \cos (\beta \log x)
\\ & = x^{\alpha} \cos (\beta \log x)
\end{align*}
\]となり、オイラー微分方程式\[
x^2 \frac{d^2 y}{dx^2} + ax \frac{dy}{dx} + b = 0
\]の基本解が \( x^{\alpha} \sin (\beta \log x) \), \( x^{\alpha} \cos (\beta \log x) \) となり、一般解を任意定数 \( C_1 \), \( C_2 \) を用いて\[
y = C_1 x^{\alpha} \sin (\beta \log x) + C_2 x^{\alpha} \cos (\beta \log x)
\]と表すことができます。

４．練習問題

では、5問ほど練習しましょう。

練習1

微分方程式\[
x^2 \frac{d^2 y}{dx^2} + 6x \frac{dy}{dx} + 6y = 0
\]の一般解を求めなさい。

練習2

微分方程式\[
x^2 \frac{d^2 y}{dx^2} - x \frac{dy}{dx} + 2y = 0
\]の一般解を求めなさい。

練習3

微分方程式\[
x^2 \frac{d^2 y}{dx^2} - 3x \frac{dy}{dx} + 4y = 0
\]の一般解を求めなさい。

練習4

微分方程式\[
\frac{d^2 y}{dx^2} - \frac{2}{x^2} y = 0
\]の一般解を求めなさい。

練習5

微分方程式\[
\frac{d^2 y}{dx^2} - \frac{1}{x} \frac{dy}{dx} + \frac{1}{x^2} y = 0
\]の一般解を求めなさい。

５．練習問題の答え

解答1

\( x = \log t \) とすることで、微分方程式を\[
\frac{d^2 y}{dt^2} + 5 \frac{dy}{dt} + 6y = 0
\]と変形できる。この微分方程式の特性方程式は\[
k^2 + 5k + 6 = 0
\]となるので、\[
(k+2)(k+3) = 0
\]とすることで \( k = -2, -3 \) となる。

よって、一般解は任意定数 \( C_1 \), \( C_2 \) を用いて\[\begin{align*}
y & = C_1 e^{-2t} + C_2 e^{-3t}
\\ & = C_1 x^{-2} + C_2 x^{-3}
\\ & = \frac{C_1}{x^2} + \frac{C_2}{x^3}
\end{align*}\]となる。

解答2

\( x = \log t \) とすることで、微分方程式を\[
\frac{d^2 y}{dt^2} -2 \frac{dy}{dt} + 2y = 0
\]と変形できる。この微分方程式の特性方程式は\[
k^2 + 2k + 2 = 0
\]となるので、\[
k = \frac{2 \pm \sqrt{4-8}}{2}
\]とすることで \( k = 1 \pm i \) となる。

よって、一般解は任意定数 \( C_1 \), \( C_2 \) を用いて\[\begin{align*}
y & = C_1 e^{t} \sin t + C_2 e^{t} \cos t
\\ & = C_1 x \sin ( \log x ) + C_2 x \cos ( \log x )
\end{align*}\]となる。

解答3

\( x = \log t \) とすることで、微分方程式を\[
\frac{d^2 y}{dt^2} -4 \frac{dy}{dt} + 4y = 0
\]と変形できる。この微分方程式の特性方程式は\[
k^2 - 4k + 4 = 0
\]となるので、\[
(k-2)^2 = 0
\]とすることで \( k = 2 \) の2重解となる。

よって、一般解は任意定数 \( C_1 \), \( C_2 \) を用いて\[\begin{align*}
y & = C_1 e^{2t} + C_2 t e^{2t}
\\ & = C_1 x^2 + C_2 x^2 \log x
\end{align*}\]となる。

解答4

見た目はオイラー微分方程式には見えないが、両辺を \( x^2 \) 倍すると、\[
x^2 \frac{d^2 y}{dx^2} - 2 y = 0
\]となり、オイラー微分方程式となる。

\( x = \log t \) とすることで、微分方程式を\[
\frac{d^2 y}{dt^2} - \frac{dy}{dt} - 2y = 0
\]と変形できる。この微分方程式の特性方程式は\[
k^2 - k - 2 = 0
\]となるので、\[
(k-2)(k+1) = 0
\]とすることで \( k = -1, 2 \) となる。

よって、一般解は任意定数 \( C_1 \), \( C_2 \) を用いて\[\begin{align*}
y & = C_1 e^{-t}  + C_2 e^{2t}
\\ & = C_1 x^{-1} + C_2 x^{2}
\\ & = \frac{C_1}{x} + C_2 x^{2}
\end{align*}\]となる。

解答5

見た目はオイラー微分方程式には見えないが、両辺を \( x^2 \) 倍すると、\[
x^2 \frac{d^2 y}{dx^2} - x \frac{dy}{dx} + y = 0
\]となり、オイラー微分方程式となる。

\( x = \log t \) とすることで、微分方程式を\[
\frac{d^2 y}{dt^2} - 2 \frac{dy}{dt} + y = 0
\]と変形できる。この微分方程式の特性方程式は\[
k^2 - 2k + 1 = 0
\]となるので、\[
(k-1)^2 = 0
\]とすることで \( k = 1 \) の2重解となる。

よって、一般解は任意定数 \( C_1 \), \( C_2 \) を用いて\[\begin{align*}
y & = C_1 e^t + C_2 t e^t
\\ & = C_1 x + C_2 x \log x
\end{align*}\]となる。

６．さいごに

今回は、2階のオイラー微分方程式を、定数係数2階線形微分方程式におきかえてから解く方法について説明しました。

次回からは、非同次の線形微分方程式の解き方のうちの1つである未定係数法について説明していきたいと思います。