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こんにちは、ももやまです。
全射、単射、写像、難しくありませんか?
多くの教科書、およびネットでは難しい数式や専門用語がずらりと並べられて説明されていますよね。
今回は、あまり専門用語を使わずに簡単な言葉で関数・写像、および全射と単射についてまとめたいと思います。
おまけとして合成写像、逆写像、全域関数、部分関数をまとめていますがこちらは番外編なので見なくても大丈夫です。余裕があるって人は理解してみるといいと思います。
前回の第5羽はこちらから
半順序、ハッセ図についてまとめています。
☆注意☆
先生によって、写像の解釈が2パターンに分かれるので注意してください
(1) 写像は関数よりも広義、つまり写像の特殊なパターンが関数という扱い
(2) 写像と関数は名前だけ違ってて意味は全く同じ
この記事では「6.全域関数、部分関数」以外の説明では (1) として扱っていきます。一応 (2) の場合の注意もほんの少しですが行っています。
線形代数学における写像についてはこちらの3つの記事をご覧ください!
前編 基礎について
中編 線形写像における 合成写像・逆写像
後編 線形写像の核空間、像空間・線形写像における全射・単射・全単射
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1.関数ってなに?
中学、高校で関数というのを習いましたよね。例えば、
とかがありますよね。つまり関数というのは入力した値
また、関数の入力
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2.写像
関数というのは、数字に関係がある写像のことを表します(高校までにならった関数はすべて数式で表されてましたよね)。つまり、関数は写像です。
写像は関数という概念をより広くした、つまり数字以外にも例えば文字などの対応付けにも対応したものなのです。*1
写像は集合
集合
写像の例を1つ示したいと思います。集合
写像の対応元の集合
この写像を図で表すとこのようになります。青線は、集合
この場合、
始域・定義域:{Lemon,さよならエレジー,アイネクライネ,今夜このまま,糸}
終域:{米津玄師,あいみょん,菅田 将暉,supercell,中島みゆき}
値域:{米津玄師,あいみょん,菅田 将暉,中島みゆき}
となります。
※supercellには集合
写像の条件を図で言い換えると、始点側
写像とは言えない例を2つ示したいと思います。
例1:始点側が矢印がない要素が存在するパターン
始点に矢印がない要素があるということは、関数に例えると
写像でも同じように始点に矢印がない要素があれば写像とは言えなくなります。
ちなみにこの場合、定義域には「謎の曲」は含まれません。
例2:始点側が2つ以上ある要素が存在するパターン
始点が2つ以上あるということは、関数に例えると
写像でも同じように始点が2つ以上あったら写像とは言えなくなります。
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3.全射・単射
(1) 全射
集合
言い換えると、ゴール先の集合
全射の具体例を1つ図で示してみます。これを図1とします。
この図の場合、
(2) 単射
集合
さらに分かりやすくすると、スタート地点の集合
こちらも図で例を示したいと思います。
この図の場合、確かにスタート地点
(3) 全単射
全射と単射の両方の条件を満たすものを全単射と言います。
図で全単射の例を示します。
この図の場合、「
よって全射でも単射でもあるので全単射です。
ちなみに(1),(2)の図が全単射でない理由は、
(1) △の部分に要素が2つ集まっているので単射ではない。
(2) △の地点に1つも矢印が刺されていないので全射ではない。
だからです。
さらに「2.写像」の図の写像
ではここで例題を2つ解いてみましょう。
例題1
集合
(1)
(2)
(3)
(4)
解答1
(1) 要素4から集合
(2) 要素 1,2,3,4 からそれぞれ集合
(3) 要素 1,2,3,4 からそれぞれ集合
(4) 要素
例題2
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
解答2
実際にグラフを書いてみるのをおすすめします。今回はこちらのDesmosというサイトで図示したものを埋め込みました。
(1)
グラフを見ればわかるのですが、
(2)
(3)
例えば
(4)
例えば
(5)
このグラフを図示するためには、極値を調べて増減表を書く必要があります。
あとは増減表(省略します)を書けば、
のようなグラフになります。
グラフより、全射であるのはわかるだろう。しかし、例えば
ここら編から少し発展的な内容なので話がかなりややこしくなってきます。おまけ程度に見てください。うさぎでも多分わかりません…(;_:)
4.合成関数・合成写像
2つの関数
例えば、
合成する順番を逆にする場合は注意してください。
例としては、
なので計算結果が変わりますよね。
ただし、
\( h \circ (g \circ f)(x) = h[1]g \circ f)(x) ) = h(g(f(x) \)
ご覧のようにどちらから計算しても結果は変わりませんよね。
写像の場合でも、関数と同じように合成写像があります。
写像
※集合
5.逆写像
写像
矢印の向きがすべて逆になっているのがわかりますね。
写像
(1) 全射でない場合は、
(2) 単射ではない場合、
この2つの理由から、写像
ちなみに合成写像
6.全域関数(全域写像)・部分関数(部分写像)
写像の話から少し離れて、最後に全域関数と部分関数について説明しましょう。
全域写像、部分写像と言うことがあまりないみたいなのでこの部分だけ全域関数、部分関数と表記します。
(1) 全域関数(全域写像)
これは今まで言ってきた関数と全く同じです。あえて説明すると、定義域のすべての要素に対して、対応する値が1つに定まる関数のことです。特に説明なしに「関数」と言われた場合は、全域関数だと思って大丈夫です。
(2) 部分関数(部分写像)
全域関数の条件を少し緩めて、定義域の部分集合の要素(一部の要素)に対して、対応する値が定まる関数のことです。少しわかりにくいので例を示してみましょう。
この関数の場合、
ちなみに全域関数である場合、その関数は必ず部分関数です。逆に部分関数である関数が全域関数とは限りません。
ではさらに練習問題を2つ解いてみましょう。
例題3(証明)
集合
(1) 写像
(2) 写像
(3) 合成写像
(4) 合成写像
ヒント:定義を使いましょう。
全射の定義
単射の定義
解説3
(1)
すべての
また、
よって、
(2)
よって、合成写像
(3)
合成写像
よって任意の
(4)
(2) と違って対偶を使うパターン。
解答には東北大学のこちらのPDFを参考にさせていただきました。
参考文献:「解析学入門」東北大学大学院情報科学研究科 尾畑研究室
例題4
集合
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
解答4
(1) 集合
(2) (1)のパターンの逆である。集合
(3) 全域関数ではなく部分関数のパターンである。部分関数の場合、対応先の集合
(4) まず、
各要素2パターンあり、それが
全射であるということは、「対応先の要素に矢印が向けられていない状態」にならないようにしないといけません。そのような場合は、
(i) すべての要素が
(ii) すべての要素が
この2パターン以外です。よって答えは
(5) 1対1対応ということは、1つめの要素だと
となり、答えは
7.さいごに
今回は、写像(関数)についてかなり長い文章でしたがまとめてみました。
途中どうしても簡単な用語でまとめられなかったところは難しい表現になってしまっています。ご了承ください。
この記事で写像というのがどんなものなのか、そして全射、単射の意味、全射、単射かどうかの判別がわかるようになれば非常にうれしいです。
お知らせなのですが、今回でうさぎでもわかる離散数学は一旦更新を止めようとおもいます…
番外編として差分方程式はやるのですがあれは離散数学というより数2Bの漸化式に似てるので…
ということで全6回+おまけとなりましたが今まで読んでいただきありがとうございました!
では、さようなら。
*1:ただし、先生によっては写像と関数は名前だけが違ってて名前以外は全く同じという先生がいるので要注意。
注釈
↑1 | g \circ f)(x) ) = h(g(f(x |
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