うさぎでもわかる離散数学　番外編3　差分方程式（漸化式）　後編

こんにちは！　ももやまです！

前回に引き続き、差分方程式（漸化式）についてです。

前回説明した隣接３項間や隣接４項間の差分方程式は = 0 の形になっていました。

今回は = 0 のパターンではない右辺に残骸があるパターンについて説明していきたいとおもいます。

なお、「= 0」のパターンはもっと簡単に解くことができます。こちらを参考にしてください。

www.momoyama-usagi.com

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１．非同次差分方程式の解く流れ

右辺が「= 0」の形になっていない（余計な残骸がある）差分方程式のことを非同次差分方程式と呼びます。

非同次差分方程式の一般解は、

1. 同次差分方程式の一般解
2. 非同次差分方程式を満たす1つの解（特殊解）

の和で求めることができます。

(1) まずは同次式の一般解

例えば次のような差分方程式を考えてみましょう。

\[ a_{n} - 2a_{n-1} = 2n^2-4n-3, \ a_0 = 2\]

まずは、「= 0」のときの解、つまり

\[ a_{n} - 2a_{n-1} = 0\]

のときの解を出してみましょう。このような式を同次式（斉次式）といいます。

（微分方程式でも出てくる用語なので覚えておくと便利です。）

特性方程式 \( t - 2 = 0 \) となるので解は \( t = 2 \) となるので、同次式の一般解は任意定数 \( C \) を用いて\[
a_n = C 2^n
\]となります。

(2) 非同次式の特殊解

つぎに、与えられた差分方程式\[ a_{n} - 2a_{n-1} = 2n^2-4n-3, \ a_0 = 2\]を満たす解をなんでもいいので1つ求めます。

（この1つの解のことを特殊解と呼びます。）

特殊解を求める方法には、

• 未定係数法
• z変換

などがありますが、今回は未定係数法で求めてみましょう。

右辺が \( n \) の2次式になっているので、 \[ a_n = an^2 + bn + c \]とおきます。

（ \( n \) の最高次の項に合わせます。）

すると、

\[an^2 + bn + c - 2(a(n-1)^2 + b(n-1) + c) =  -a n^2 + (4a-b)n - 2a +2b- c = 2n^2-4n-3\]

が成り立ちます。\[ a = -2, b = -4, c = -1 \]が求まるので、\[a_n = -2n^2 - 4n - 1\]となります。

よって、特殊解の1つは\[
a_n = -2 n^2 - 4n - 1
\]となります。

非同次式の一般解は、

• 同次差分方程式の一般解
• 非同次差分方程式を満たす1つの解（特殊解）

の和なので、\[
a_n = C 2^n - 2 n^2 - 4n - 1
\]とります。

(3) 最後に初期値を代入

あとはいつもどおり \( n \) に初期値加えて問題解くだけ。\( n = 0 \) のとき、 \( C - 1 = 2 \) なので、特殊解は、

\[a_n = 3 \cdot 2^n - 2n^2 - 4n - 1 \]

と求められます。

ここからは、特殊解を求めるパターンを4つに分けて紹介していきます。

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２．右辺がnの多項式のとき

(1) 特性方程式の解に1が含まれないとき

上の例で紹介した例がこのパターンに当たります。

この場合は、右辺の式の最高次数に合わせて特殊解をおけばOKです。

(2) 特性方程式の解に1が含まれるとき

ただし、\[ a_n - 4a_{n-1} + 3a_{n-2} = 4n, \ a_0 = 1, \ a_1 = 2\]のように特性方程式の解に1が出たら強く警戒してください。

(i) なぜ警戒する必要があるのか

普通に解いてみます。

\[t^2-4t+3=(t-1)(t-3)=0\]

より解は1と3。よって同次解は\[ a_n = C_1 \cdot 3^n + C_2\]となる。

ここで、\( a_n = an + b \) とする。\[ a_n - 4a_{n-1} + 3a_{n-2} = an + b - 4(a(n-1) + b) + 3(a(n-2) + b) = -2]

となる。でも \( -2 = 4n \)、式が合わない……。

なぜ式が合わないかというと、同次解と1つの特殊解の和の形\[
a_n = C_1 \cdot 3^n + \color{red}{C_2} + an + \color{red}{b}
\]の \( C_2 \) と \( b \) が衝突しているからです。

（\( C_2 \) は任意定数なのでどんな値でも取りうり、\( b \) の値がいくらであろうが解の1つになってしまうため。）

(ii) どうおけばいいのか

ということで、特殊解の置き方を少し変えます。\[ n(an + b) = an^2 + bn\]としましょう。

\[ a_n - 4a_{n-1} + 3a_{n-2} \\= an^2 + bn - 4(a(n-1)^2 + b(n-1)) + 3(a(n-2)^2 + b(n-2)) \\= -4an + 8a -2b = 4n \]

なので、

\[\left\{ \begin{array}{l}  -4a\ \  \ \ \ \ \ \ = 4 \\ \ \ 8a - 2b = 0 \end{array}\right.\]

の連立方程式を解けばよい。これを解くと\( a = -1, b = -4 \) となる。

よって一般解は

\[a_n = A \cdot 3^n + B - n^2 -4n \]

となる。あとは初期値を使って連立方程式を解くだけ。

\( n = 0 \) のとき、\( A + B = a_0 = 1 \)
\( n = 1 \) のとき、\( 3A + B -5 = a_1 = 2 \)

の２式が成立する。よって、

\[\left\{ \begin{array}{l} \ \ A + \ \ B = 1 \ \ \cdots (1) \\ 3A + \ \ B = 7 \ \   \cdots (2) \end{array}\right. \]

この式を解くと \( A = 3, B = -2 \) となる。よって特殊解は、

\[a_n = 3 \cdot 3^n - n^2 -4n - 2 = 3^{n+1} -n^2 -4n - 2\]

と求められる。

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３．右辺が a^n のような n 乗のとき

\( 2^n \) や \( 3^n \) のような \( a^n \) パターンが右辺に含まれている場合は特殊解を置く際に \( a^n \) をかけた値を置きます。

これもさらに2つのパターンに場合分けがあります。

(1) 特性方程式の解に \( a \) が含まれないとき

具体例で１つ試してみましょう。

\[ a_{n} - 2a_{n-1} - 3a_{n-2} = 3 \cdot 2^n , \ \ a_0 = 2 , , , a_1 = 6 \]

の一般解を出してみます。まずは同次式 \(  a_{n} - 2a_{n-1} - 3a_{n-2} =0 \) の解を出します。

特性方程式は\[ t^2-2t-3=(t-3)(t+1) = 0\]より解は-1と3となります。よって同次解は、

\[ a_{n} = C_1 \cdot 3^n + C_2 \cdot (-1)^n \]

となります。ここで特殊解を \( a_n = a \cdot 2^n \) とします。

\[ a_{n} - 2a_{n-1} - 3a_{n-2} \\= a2^n - 2(a (2^{n-1}) - 3(a (2^{n-2}) \\= 4a \cdot 2^{n-2} -4a \cdot 2^{n-2} - 3a  \cdot 2^{n-2} \\= -3a \cdot 2^{n-2} \\= 3 \cdot 2^n = 12 \cdot 2^{n-2}    \]

より \( a = -4 \) となる。

よって、特殊解の1つは\[\begin{align*}
a_n & = -4 \cdot 2^n
\\ & = - 2^{n+2}
\end{align*}\]となる。

よって一般解は、

• 同次式の一般解
• 特殊解の1つ

なので、

\[\begin{align*}a_n & = C_1 \cdot 3^n + C_2 \cdot (-1)^n - 4 \cdot 2^n
\\ & = C_1 \cdot 3^n + C_2 \cdot (-1)^n - 2^{n+2}
\end{align*}\]

となる。あとはいつものように初期値を代入して連立方程式を解くだけ。

\( n = 0 \) のとき、\( C_1 + C_2 -4 = a_0 = 2 \)
\( n = 1 \) のとき、\( 3C_1 - C_2 - 8 = a_1 = 6 \)

の２式が成立する。よって、

\[\left\{ \begin{array}{l} \ \ C_1 + \ \ C_2 = 6 \ \ \cdots (1) \\ 3C_1 - \ \ C_2 = 14 \ \   \cdots (2) \end{array}\right. \]

この式を解くと \( C_1 = 5,\ C_2 = 1 \) となる。よって特殊解は、

\[\begin{align*}
a_n & = 5 \cdot 3^n + (-1)^n - 2^{n+2}
\end{align*}\]

と求められる。

(2) 特性方程式の解に \( a \) が含まれるとき

(i) 同じように解いてしまうと…

この場合は、特性方程式の解に \( a^n \) の \( a \) が出てきた場合は警戒してください。

試しに1つ解いてみます。

\[a_{n} - 9a_{n-2} = 4n \cdot 3^n , \ a_0 = 3, \ a_1 = 6 \]

今回は \( 3^n \)、つまり \( a = 3 \) なので、警戒してください。

いつものようにまずは同次式\[ a_{n} - 9a_{n-2} = 0 \]の解を出します。

特性方程式は\[ t^2-9=(t+3)(t-3) = 0\]より解は3と-3となります。よって同次解は、

\[ a_{n} = C_1 \cdot 3^n + C_2 \cdot (-3)^n \]

となります。

特性方程式の解に3がありますね！　警戒するパターンです！！

そのままおいてしまうと、一般解が\[
a_{n} = C_1 \cdot \color{red}{3^n} + C_2 \cdot (-3)^n + an \cdot 3^n + \color{red}{b \cdot 3^n}
\]となってしまい、\( b \cdot 3^n \) が意味をなさなくなります。

(ii) どう解けばいいのか

この場合、3の解が1つ含まれているので特殊解を置く時に \( n^1 = n \) 倍をし、

\[a_n = n(an + b) \cdot 3^n =(an^2 + bn) \cdot 3^n\]

とおきます。

あとは計算しましょう。

\[a_{n} - 9a_{n-2} \\= (an^2 + bn) \cdot 3^n - 9(a(n-2)^2 + b(n-2)) \cdot 3^{n-2} \\= 9(an^2 + bn) \cdot 3^{n-2} - 9(a(n^2-2n+1) + bn - b) \cdot 3^{n-2} \\ = (36an - 36a + 18b) \cdot 3^{n-2}  \\=36n \cdot 3^{n-2} \\= 4n \cdot 3^{n} \]

より、

\[\left\{ \begin{array}{l}  36a = 36 \\ -36a + 18b = 0 \end{array}\right. \]

の連立方程式を解けばよい。よって \( a =  1, b = 2 \) となり、特殊解の1つが\[
a_n = (n^2 + 2n) \cdot 3^n
\]と求まる。

よって一般解は、

\[ a_{n} = C_1 \cdot 3^n + C_2 \cdot (-3)^n +(n^2 + 2n) \cdot 3^n\]

となる。

あとは初期値を入れて特殊解を出しましょう。

\( n = 0 \) のとき、\( C_1 + C_2 = a_0 = 3 \)
\( n = 1 \) のとき、\( 3C_1 - 3C_2 + 9 = a_1 = 6 \)

となる、

\[\left\{ \begin{array}{l} \ \ C_1 + \ \ C_2 = 3 \ \ \cdots (1) \\ 3C_1 -  3C_2 = -3 \ \   \cdots (2) \end{array}\right. \]

の連立方程式を解けばよい。

たまには逆行列で計算してみますか。

\[\left( \begin{array}{ccc} 1 & 1  \\ 3 & -3  \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc} A  \\ B  \end{array} \right) =\left( \begin{array}{ccc} 3  \\ -3  \end{array} \right)\]

という行列を満たせばいい。ここで逆行列を求める。

\[\left( \begin{array}{ccc} 1 & 1  \\ 3 & -3  \end{array} \right)^{-1} = \frac{1}{6} \left( \begin{array}{ccc} 3 & 1  \\ 3 & -1  \end{array} \right)\]

なので、

\[\left( \begin{array}{ccc} C_1  \\ C_2  \end{array} \right) =  \left( \begin{array}{ccc}1 & 1  \\ 3 & -3  \end{array} \right)^{-1} \left( \begin{array}{ccc} 3  \\ -3  \end{array} \right)\ =  \frac{1}{6}  \left( \begin{array}{ccc} 3 & 1  \\ 3 & -1  \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc} 3  \\ -3  \end{array} \right)\ = \left( \begin{array}{ccc} 1  \\ 2  \end{array} \right)\ \]

となり、\( C_1 = 1, C_2 = 2 \) となる。

よって特殊解は、

\[ a_{n} = 3^n + 2 \cdot (-3)^n +(n^2 + 2n) \cdot 3^n\]

となる。

４．計算方法まとめ

ということで（右辺）= 0 でない場合の計算方法をまとめてみました。

５．練習

ということで1問だけですが練習してみましょう。

問題

次の差分方程式の一般解と与えられた初項による特殊解を求めなさい。

\[ a_{n} - 4a_{n-1} + 4a_{n-2} = 6 \cdot 2^n , \ a_0 = 1, \ a_1 = 8 \]

解答

まずは \( a_{n} - 4a_{n-1} + 4a_{n-2} = 0 \) の場合（同次式）の特性方程式を解いて、同次解を求めます。

特性方程式は\[t^2-4t+4=(t-2)^2 = 0] より、解は2の2重解となり、同次解は

\[ a_n = (C_1n + C_2) \cdot 2^n \]

となります。

今回は2の2重解なので特殊解を \[ a_n = an^2 \cdot 2^n \] と置きます。

\[ a_{n} - 4a_{n-1} + 4a_{n-2} \\= an^2 \cdot 2^n - 4a(n-1)^2 \cdot 2^{n-1} + 4a(n-2)^2 \cdot 2^{n-2} \\= 4an^2 \cdot 2^{n-2} - 8a(n-1)^2 \cdot 2^{n-2} + 4a(n-2)^2 \cdot 2^{n-2} \\ =  8a \cdot 2^{n-2} \\ = 24 \cdot 2^{n-2} = 6 \cdot 2^n\]

となる。よって \( a = 3 \) となり、特殊解の1つが\[ a_n = 3n^2 \cdot 2^n\]となるので一般解は

\[a_n = (C_1n + C_2) \cdot 2^n + 3n^2 \cdot 2^n \]

と求めることができる。

また、

\( n = 0 \) のとき、\( \ \ \ \ \ \  C_2 = a_0 = 1 \)
\( n = 1 \) のとき、\( 2C_1 + 2C_2 + 6 = a_1 = 8 \)

となるので、、

\[\left\{ \begin{array}{l} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ C_2 = 1 \ \ \cdots (1) \\ 2C_1 + 2C_2 = 2 \ \   \cdots (2) \end{array}\right. \]

の連立方程式を解けばよい。

解いた結果、\( C_1 = 0, C_2 = 1 \) となり、特殊解は

\[ (2^n + 3n^2 \cdot 2^n = (1 + 3n^2) \cdot 2^n\]

となる。

６．さいごに

今回は右辺が0ではないパターンの差分方程式（漸化式）についてまとめてみました。

この記事を見て差分方程式の解き方がわかるようになったら非常にありがたいです。

非同次形の線形微分方程式を未定係数法で解くときも、ほぼ同じテクニックで解いているので興味がある人はこちらでチェックをしてみましょう！